[论文解读] Finite generating functions for the sum of digits sequence

Christophe Vignat, Tanay Wakhare|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文推导了二进制下数位和序列 $ s_2(n) $ 的有限生成函数，推广了 Allouche 和 Shallit 的经典结果。文中引入了一个从 $ n = 0 $ 到 $ b^p - 1 $ 的有限和，涉及 $ s_b(n) $ 和函数 $ f(n) $，并增加一个额外的实参数 $ z $，得到以 Hurwitz zeta 函数表示的闭式表达式，从而建立起与 Dirichlet $ L $-函数及随机模型的联系。

ABSTRACT

We derive some new finite sums involving the sequence $s_{2}\left(n ight),$ the sum of digits of the expansion of $n$ in base $2.$ These functions allow us to generalize some classical results obtained by Allouche, Shallit and others.

研究动机与目标

• 将涉及数位和函数 $ s_2(n) $ 的经典无穷级数结果推广至区间 $ [0, b^p - 1] $ 的有限和。
• 通过引入辅助实参数 $ z $ 扩展这些结果，借助积分变换实现更广泛类别的恒等式。
• 建立数位和函数与特殊函数（如 Hurwitz zeta 函数和 Dirichlet $ L $-函数）之间的联系。
• 利用独立的伯努利随机变量提供数位和函数的随机表示，从而实现矩的计算。
• 推导归一化数位和随机变量 $ Z_N $ 的矩和累积量的显式表达式，并分析其极限分布。

提出的方法

• 推导一个涉及 $ s_b(n) $ 和幂差 $ (z+n)^{-\beta} - (z+n+1)^{-\beta} $ 的有限和恒等式，通过 Hurwitz zeta 函数表达。
• 利用 $ s_b(n) $ 的递归性质，特别是 $ s_b(bn + r) = s_b(n) + r $，将基于 $ b $ 进制数位展开的和进行分解。
• 引入参数 $ z $ 以推广恒等式，允许通过积分变换和拉普拉斯型表示扩展至函数族。
• 构建一个随机模型，其中 $ Z_N $ 表示为独立随机变量 $ W_k $ 的和，每个 $ W_k $ 对应该进制中数位贡献。
• 利用从 $ W_k $ 的特征函数导出的双曲余弦乘积，计算 $ Z_N $ 的矩生成函数。
• 推导累积量生成函数及累积量 $ \kappa_{2n}^{(N)} $ 的显式公式，表明其收敛至非高斯极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将涉及 $ s_2(n) $ 的经典无穷级数（如与黎曼和 Dirichlet zeta 函数相关的）推广至含参数 $ z $ 的有限和？
• RQ2 在求和 $ \sum_{n=0}^{b^p-1} s_b(n) f(n+z) $ 中引入实参数 $ z $，是否能以特殊函数（如 Hurwitz zeta 函数）表示闭式表达式？
• RQ3 归一化数位和 $ Z_N $ 的分布行为如何？其矩和累积量能否显式计算？
• RQ4 当 $ N \to \infty $ 时，$ Z_N $ 的极限分布是否收敛至某一已知分布？若然，其与区间 $[-3,3]$ 上的均匀分布相比如何？
• RQ5 能否通过有限生成函数形式化数位和函数与 Dirichlet $ L $-函数之间的联系？

主要发现

• 有限和 $ \sum_{n=1}^{b^p-1} s_b(n) \left( \frac{1}{(z+n)^\alpha} - \frac{1}{(z+n+1)^\alpha} \right) $ 可以用 Hurwitz zeta 函数的差表示闭式表达式，如定理 1 所述。
• 当 $ p \to \infty $ 且 $ z = 0 $ 时，该结果恢复了涉及黎曼 zeta 函数和 Dirichlet eta 函数的经典恒等式，与 Allouche 和 Shallit 的结果一致。
• 当 $ \alpha = 1 $ 时，该和简化为 $ \sum_{n=1}^{b^p-1} \frac{s_b(n)}{n(n+1)} $，这推广了 Putnam 竞赛结果 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{s_2(n)}{n(n+1)} = 2\log 2 $。
• 归一化数位和 $ Z_N $ 的均值为 $ \mu_N = 2^N - \frac{N}{2} - 1 $，方差为 $ \sigma_N^2 = \frac{1}{9}\left(2^{2N} - \frac{3}{4}N - 1\right) $，由独立伯努利分量导出。
• 标准化变量 $ \hat{Z}_N $ 的累积量由 $ \kappa_{2n}^{(N)} = \frac{9^n}{(4^N - \frac{3}{4}N - 1)^n} \cdot \frac{B_{2n}}{2n} \cdot \frac{4^n(4^{nN} - N - 1) + N}{4^n - 1} $ 给出，提供了完整的矩刻画。
• 极限累积量 $ \kappa_{2n}^{(\infty)} = \frac{B_{2n}}{2n} \cdot \frac{6^{2n}}{2^{2n} - 1} $ 表明极限分布为非高斯分布，渐近上类似于区间 $[-3,3]$ 上的均匀分布。