[论文解读] Finite group actions and G-monopole classes on smooth 4-manifolds

Chanyoung Sung|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文引入了光滑4-流形上有限群作用下的$G$-单极类概念，定义为在所有$G$-不变度量下，$G$-等变Spin$^c$结构所对应的、能解出Seiberg-Witten方程的$H^2(M;\mathbb{Z})$中的元素。通过利用具有非平凡Bauer-Furuta不变量的$\mathbb{Z}_k$-单极类，本文在$S^2 \times S^2$、$\mathbb{C}P_2$、$\overline{\mathbb{C}P}_2$和$K3$曲面的连通和上，构造了无穷多个奇异的非自由作用。

ABSTRACT

On a smooth closed oriented $4$-manifold $M$ with a smooth action by a compact Lie group $G$, we define a $G$-monopole class as an element of $H^2(M;\Bbb Z)$ which is the first Chern class of a $G$-equivariant Spin$^c$ structure which has a solution of the Seiberg-Witten equations for any $G$-invariant Riemannian metric on $M$. We find $\Bbb Z_k$-monopole classes on some $\Bbb Z_k$-manifolds such as the connected sum of $k$ copies of a 4-manifold with nontrivial mod 2 Seiberg-Witten invariant or Bauer-Furuta invariant, where the $\Bbb Z_k$-action is a cyclic permutation of $k$ summands. As an application, we produce infinitely many exotic non-free actions of $\Bbb Z_k\oplus H$ on some connected sums of finite number of $S^2 imes S^2$, $\Bbb CP_2$, $\overline{\Bbb CP}_2$, and $K3$ surfaces, where $k\geq 2$, and $H$ is any nontrivial finite group acting freely on $S^3$.

研究动机与目标

• 在有限群作用下的光滑4-流形上定义并研究$G$-单极类，将单极类推广至等变设定。
• 开发一种利用等变Seiberg-Witten理论和广义不变量检测$G$-单极类的框架。
• 在标准4-流形的连通和上，构造$\mathbb{Z}_k \oplus H$的无穷多个光滑但不同胚的行动，其中$H$在$S^3$上自由作用。
• 在标准不变量为零的情况下，将单极类的检测方法扩展至$ b_2^+ > 0 $的连通和情形，特别是超越普通Seiberg-Witten不变量。

提出的方法

• 将$G$-单极类定义为在每个$G$-不变黎曼度量下，能解出Seiberg-Witten方程的$G$-等变Spin$^c$结构的第一陈类。
• 利用普通模空间的$G$-固定点集$\mathfrak{X}$，即$G$-单极模空间，来定义一个精炼的$G$-单极不变量$SW^G_{M,\mathfrak{s}}$。
• 通过在$N$上定义$\mathbb{Z}_k$作用，并结合$M$-分量的循环置换，构造连通和$\overline{M}_k = M\#\cdots\#M\#N$（$k$个$M$的副本）上的$\mathbb{Z}_k$-单极类。
• 利用Bauer-Furuta不变量及其$G$-等变推广，在标准Seiberg-Witten不变量为零的情况下，检测非零的$G$-单极不变量。
• 应用Taubes的粘合公式，确保模2基本类在纤维和操作中保持不变，从而维持$G$-单极类结构。
• 通过在椭圆曲面上进行纽结手术和对数变换，生成具有任意多模2基本类的无限家族，从而实现无穷多个不同$G$-作用的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限群作用下，单极类能否推广至等变设定？在何种条件下可保证此类$G$-单极类的存在？
• RQ2 在标准Seiberg-Witten不变量为零的4-流形连通和中，如何检测$G$-单极类？
• RQ3 当普通不变量为零时，等变不变量如$\overline{BF}^G_{M,\mathfrak{s}}$在检测$G$-单极类中起什么作用？
• RQ4 能否利用$G$-单极类在4-流形上构造$\mathbb{Z}_k \oplus H$的无穷多个光滑但不同胚的行动？
• RQ5 纽结手术和对数变换如何影响连通和中$G$-单极类的存在性与数量？

主要发现

• 本文在$S^2 \times S^2$、$\mathbb{C}P_2$、$\overline{\mathbb{C}P}_2$和$K3$曲面的连通和上，对任意$k \geq 2$及任意在$S^3$上自由作用的非平凡有限群$H$，构造了无穷多个奇异的非自由$\mathbb{Z}_k \oplus H$作用。
• 对于$S^2 \times S^2$的无穷多个副本$m(S^2 \times S^2)$（$m$无限），存在此类奇异作用，其通过将$E(2n)$的对数变换与沿对称环面的辛4-流形进行纤维和构造而成。
• 通过选择足够大的对数变换参数$r$，可使结果流形中模2基本类的数量任意大，从而确保$G$-单极不变量非零。
• 该构造依赖于$E(2n)$的$r$-对数变换的Seiberg-Witten多项式中模2项的数量随$r$增长，且这些项在Taubes粘合公式下于纤维和操作中保持不变。
• 对于$n \geq 2$的$E(n)$，通过具有高次对称亚历山大多项式的纽结$K$进行纽结手术，可生成具有任意多模2基本类的流形，从而实现$\mathbb{Z}_k$-单极类的构造。
• 连通和$klE(2n)\#(l-1)(S^2\times S^2)$微分同胚于$klnK3\#(kl(n-1)+l-1)(S^2\times S^2)$，且由于$G$-单极类在稳定化后仍保持不变，两者均具有所需的奇异$\mathbb{Z}_k \oplus H$作用。