[论文解读] Finite groups whose $n$-maximal subgroups are $σ$-subnormal

Wenbin Guo, Alexander N. Skiba|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文研究了所有 $n$-极大子群均为 $\sigma$-子正规的有限可解群，引入不变量 $m_\sigma(G)$ 以界定 $\sigma$-幂零长度 $l_\sigma(G)$、群的秩 $r(G)$ 以及不同素因子个数 $|\pi(G)|$。关键贡献在于证明了 $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$ 唯一刻画了一类特定的 $\sigma$-可解群，推广了关于幂零性和子群嵌入性质的已知结果。

ABSTRACT

Let $σ=\{σ_{i} | i\in I\}$ be some partition of the set of all primes $\Bbb{P}$. A set ${\cal H}$ of subgroups of $G$ is said to be a \emph{complete Hall $σ$-set} of $G$ if every member $ e 1$ of ${\cal H}$ is a Hall $σ_{i}$-subgroup of $G$, for some $i\in I$, and $\cal H$ contains exact one Hall $σ_{i}$-subgroup of $G$ for every $σ_{i}\in σ(G)$. A subgroup $H$ of $G$ is said to be: \emph{$σ$-permutable} or \emph{$σ$-quasinormal} in $G$ if $G$ possesses a complete Hall $σ$-set set ${\cal H}$ such that $HA^{x}=A^{x}H$ for all $A\in {\cal H}$ and $x\in G$: \emph{$σ$-subnormal} in $G$ if there is a subgroup chain $A=A_{0} \leq A_{1} \leq \cdots \leq A_{t}=G$ such that either $A_{i-1} rianglelefteq A_{i}$ or $A_{i}/(A_{i-1})_{A_{i}}$ is a finite $σ_{i}$-group for some $σ_{i}\in σ$ for all $i=1, \ldots t$. If each $n$-maximal subgroup of $G$ is $σ$-subnormal ($σ$-quasinormal, respectively) in $G$ but, in the case $ n > 1$, some $(n-1)$-maximal subgroup is not $σ$-subnormal (not $σ$-quasinormal, respectively)) in $G$, we write $m_σ(G)=n$ ($m_{σq}(G)=n$, respectively). In this paper, we show that the parameters $m_σ(G)$ and $m_{σq}(G)$ make possible to bound the $σ$-nilpotent length $ \ l_σ(G)$ (see below the definitions of the terms employed), the rank $r(G)$ and the number $|π(G)|$ of all distinct primes dividing the order $|G|$ of a finite soluble group $G$. We also give conditions under which a finite group is $σ$-soluble or $σ$-nilpotent, and describe the structure of a finite soluble group $G$ in the case when $m_σ(G)=|π(G)|$. Some known results are generalized.

研究动机与目标

• 刻画所有 $n$-极大子群均为 $\sigma$-子正规的有限可解群。
• 利用不变量 $m_\sigma(G)$ 界定 $\sigma$-幂零长度 $l_\sigma(G)$、秩 $r(G)$ 以及素因子个数 $|\pi(G)|$。
• 确定有限群为 $\sigma$-可解或 $\sigma$-幂零的条件。
• 描述当 $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$ 时有限可解群的结构。

提出的方法

• 通过子群链定义 $\sigma$-子正规子群，其中每个因子要么是正规的，要么是 $\sigma$-拟素的。
• 将 $m_\sigma(G)$ 定义为最大的 $n$，使得所有 $n$-极大子群均为 $\sigma$-子正规，但存在某个 $(n-1)$-极大子群不是 $\sigma$-子正规。
• 利用完备的 Hall $\sigma$-系和 $\sigma$-拟正规性分析子群的嵌入与正规结构。
• 应用不可约对的结果、Thompson 关于幂零性的定理，以及可解群中 Sylow 子群的性质。
• 利用 $\sigma$-可解群的结构，通过 $m_\sigma(G)$ 建立 $l_\sigma(G)$ 和 $|\pi(G)|$ 的界限。
• 证明当 $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$ 时，群 $G$ 具有特定结构，推广了关于幂零性和 $S$-拟正规性的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$ 时，有限可解群 $G$ 的结构是怎样的？
• RQ2 $m_\sigma(G)$ 与 $\sigma$-幂零长度 $l_\sigma(G)$ 及群的秩 $r(G)$ 有何关系？
• RQ3 基于 $n$-极大子群的性质，有限群在何种条件下为 $\sigma$-可解或 $\sigma$-幂零？
• RQ4 $m_\sigma(G)$ 与 $\sigma$-Spencer 高度 $h_\sigma(G)$ 之间有何关系？

主要发现

• $\sigma$-幂零长度 $l_\sigma(G)$ 上界为 $m_\sigma(G)$，在特定条件下可取等。
• 不同素因子个数 $|\pi(G)|$ 上界为 $m_\sigma(G)$，且当且仅当 $G$ 是 $\sigma$-幂零或满足特定结构条件时取等。
• 若 $G$ 是 $\sigma$-可解但非 $\sigma$-幂零，则 $|\pi(G)| \leq m_\sigma(G)$。
• 当 $m_\sigma(G) = |\pi(G)|$ 时，群 $G$ 具有唯一结构，其特征为 $\sigma$-子正规 $n$-极大子群与 Sylow 子群性质的相互作用。
• 不变量 $m_\sigma(G)$ 推广了经典幂零性判别准则：若 $m_\sigma(G) < |\pi(G)|$，则 $G$ 是 $\sigma$-幂零。
• 本文推广了 Spencer 的结果：若 $h_\sigma(G) < |\pi(G)|$，则 $G$ 是 $\sigma$-幂零，且 $l_\sigma(G) \leq h_\sigma(G)$。