[论文解读] Finite jet determination of holomorphic mappings at the boundary

Peter Ebenfelt|ArXiv.org|Jan 21, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文建立了在边界处光滑实超曲面之间全纯映射的有限阶确定性，证明了当源超曲面在某点处为k₀-非退化时，此类映射完全由该点处的2k₀阶 jets 确定。该结果将Chern–Moser的有限阶确定性推广至光滑、非解析的设定，并给出了无穷小CR自构空间为有限维的充分条件。

ABSTRACT

Let M,M' be smooth real hypersurfaces in N-dimensional space and assume that M is k-nondegenerate at a point p in M. We prove that holomorphic mappings that extend smoothly to M, sending a neighborhood of p in M diffeomorphically into M' are completely determined by their 2k-jet at p. As an application of this result, we also give sufficient conditions on a smooth real hypersurface which guarantee that the space of infinitesimal CR automorphisms is finite dimensional.

研究动机与目标

• 将有限阶确定性结果从实解析情形推广至ℂ^N中的光滑实超曲面。
• 建立全纯映射在边界处由有限阶 jets 确定的结论，该映射将一个光滑超曲面微分同胚地映入另一个。
• 提供保证无穷小CR自构空间为有限维的充分条件。
• 将Chern–Moser的阶确定性结果推广至非Levi非退化且非实解析的设定之外。

提出的方法

• 证明依赖于从超曲面上CR结构的几何性质导出的一组微分方程。
• 使用了通过CR向量场对定义函数梯度的迭代作用所张成空间定义的k₀-非退化性概念。
• 论证利用了[BER4]中的一个结果：在k₀-非退化条件下，映射的所有阶 jets 均由其2k₀阶 jet 确定。
• 该方法避免使用Cartan联络，而是直接在光滑范畴中处理jet提升和CR几何。
• 建立了映射在超曲面之间提升的反射公式与结构方程。
• 分析在局部坐标系中进行，使用切向Cauchy–Riemann算子与对偶余标架。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使超曲面非实解析，光滑实超曲面之间的全纯映射是否仍能由边界处的有限阶 jet 确定？
• RQ2 确定此类映射所需的最小阶数是多少？其与超曲面非退化类型的依赖关系如何？
• RQ3 在何种条件下，光滑超曲面的无穷小CR自构空间为有限维？
• RQ4 Chern–Moser阶确定性定理是否可推广至光滑、非Levi非退化的超曲面？
• RQ5 在非有限非退化超曲面上，CR全纯向量场的存在性是否与切向Cauchy–Riemann复形的可解性相关？

主要发现

• 若光滑实超曲面M在点p₀处为k₀-非退化，则任何光滑延拓至M的全纯映射完全由其在p₀处的2k₀阶 jet 确定。
• 该结果适用于光滑（C^∞）超曲面与光滑映射，推广了以往要求实解析性的结果。
• 若光滑超曲面在某点处为有限非退化，则其无穷小CR自构空间为有限维。
• 证明表明，通过由CR几何导出的一组微分方程，映射的所有高阶 jet 均由2k₀阶 jet 确定。
• 无穷维自构群的必要条件是存在非平凡的CR全纯向量场，这可能在超曲面不为有限非退化时出现。
• 在某些几何条件下，切向∂̄_b复形在(0,1)阶的可解性意味着在非有限非退化超曲面上存在CR全纯向量场。