[论文解读] Finite part of operator K-theory for groups finitely embeddable into Hilbert space and the degree of non-rigidity of manifolds

Shmuel Weinberger, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 10

一句话总结

本论文通过与有限阶群元素相关的幂等元，建立了离散群在最大 C*-代数中算子 K-理论有限部分的下界，适用于可有限嵌入希尔伯特空间的群。关键结果是对结构群与正 scalar curvature 度量的阿贝尔群的秩给出下界，适用于维度为 $4k-1$（$k>1$）和 $2k-1$（$k>2$）且基本群可有限嵌入的流形。

ABSTRACT

In this paper, we study lower bounds on the K-theory of the maximal $C^*$-algebra of a discrete group based on the amount of torsion it contains. We call this the finite part of the operator K-theory and give a lower bound that is valid for a large class of groups, called the "finitely embeddable groups". The class of finitely embeddable groups includes all residually finite groups, amenable groups, Gromov's monster groups, virtually torsion free groups (e.g. $Out(F_n)$), and any group of analytic diffeomorphisms of an analytic connected manifold fixing a given point. It is an open question if every countable group is finitely embeddable. We apply this result to measure the degree of non-rigidity for any compact oriented manifold $M$ with dimension $4k-1$ $(k>1)$. We derive a lower bound on the rank of the structure group $S(M)$ in this case. For a compact Riemannian manifold $M$ with dimension greater than or equal to 5 and positive scalar curvature metric, there is an abelian group $P(M)$ that measures the size of the space of all positive scalar curvature metrics on $M$. We obtain a lower bound on the rank of the abelian group $P(M)$ when the compact smooth spin manifold $M$ has dimension $2k-1$ $(k>2)$ and the fundamental group of $M$ is finitely embeddable.

研究动机与目标

• 建立离散群最大 C*-代数中算子 K-理论有限部分的观念性下界。
• 识别一类广义群——可有限嵌入希尔伯特空间的群——使得该下界成立且在群包含下保持稳定。
• 将 K-理论下界应用于测量维度为 $4k-1$（$k>1$）的紧致定向流形的拓扑非刚性程度。
• 推导出测量紧致旋流形维度 $2k-1$（$k>2$）上正 scalar curvature 度量空间的阿贝尔群 $P(M)$ 的秩的下界。

提出的方法

• 将 $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ 定义为 $K_0(C^*(G))$ 中由非平凡有限阶元素 $g \in G$ 的 $[p_g]$ 生成的阿贝尔子群，其中 $p_g = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^d g^k$。
• 利用群代数上的迹映射，从有限子群检测 $K_0$ 元素，确保在群包含下保持稳定。
• 引入希尔伯特空间中有限可嵌入性的概念，作为粗嵌入性的推广，涵盖剩余有限、可约、双曲群以及 $\mathrm{Out}(F_n)$ 等群。
• 将 $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ 的下界应用于装配映射，并证明来自有限阶元素的 $K_0$ 元素不在装配映射的像中。
• 利用 $L^2$-指标定理与迹论证，将装配映射下 $K$-同调类像的迹与弗雷德霍姆指标联系起来。
• 证明结构群 $S(M)$ 与正 scalar curvature 度量群 $P(M)$ 的秩下界等于 $\pi_1(M)$ 中非平凡有限阶元素共轭类的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散群的最大 C*-代数中，算子 K-理论有限部分是否存在一个稳定且概念性的下界？
• RQ2 哪些群类具有此类下界，且有限嵌入希尔伯特空间与之有何关系？
• RQ3 如何利用此类 K-理论下界来衡量维度为 $4k-1$ 的紧致定向流形的非刚性程度？
• RQ4 对维度为 $2k-1$ 的紧致旋流形，测量其正 scalar curvature 度量空间的阿贝尔群 $P(M)$ 的秩的下界是什么？
• RQ5 有限部分 $K_0(C^*(G))$ 是否能检测在群包含下保持非平凡且不在装配映射像中的元素？

主要发现

• 对任意可有限嵌入的群 $G$，有限部分 $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ 包含一个秩等于 $G$ 中非平凡有限阶元素共轭类数的子群。
• $K_0$ 元素 $[p_g]$ 与 $G$ 中有限阶元素 $g$ 关联，生成一个秩等于此类共轭类数的子群，且这些元素不在装配映射的像中。
• 对任意紧致定向流形 $M$（维度为 $4k-1$，$k>1$），结构群 $S(M)$ 的秩下界等于 $\pi_1(M)$ 中非平凡有限阶元素共轭类的数量。
• 对任意紧致光滑旋流形 $M$（维度为 $2k-1$，$k>2$），若其具有正 scalar curvature 且基本群可有限嵌入，则阿贝尔群 $P(M)$ 的秩下界等于 $\pi_1(M)$ 中非平凡有限阶元素共轭类的数量。
• $C^*(G)$ 上的迹满足 $\tau(\mu[(F,H)]) = \text{index}(F)$，从而为最大群 $C^*$-代数证明了阿蒂亚 $L^2$-指标定理的类比结果。
• 该结果适用于所有可有限嵌入群类，包括剩余有限群、可约群、双曲群、$\mathrm{Out}(F_n)$ 以及在某点固定的解析微分同胚群。