[论文解读] Finite size scaling bounds on many-body localized phase transitions

Anushya Chandran, Chris R. Laumann+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 1被引用 66

一句话总结

本文推导了多体局域化系统中量子态相变的普适有限尺寸标度界限，证明在 $d$ 维空间中，纠缠熵与谱统计比必须满足具有相关长度指数 $ u \geq 2/d$ 的哈里斯型界限。这些结果对数值研究构成约束，表明小系统中看似违反该界限的现象很可能是有限尺寸效应所致，而非超出标度假说的真实物理现象。

ABSTRACT

Quantum phase transitions are usually observed in ground states of correlated systems. Remarkably, eigenstate phase transitions can also occur at finite energy density in disordered, isolated quantum systems. Such transitions fall outside the framework of statistical mechanics as they involve the breakdown of ergodicity. Here, we consider what general constraints can be imposed on the nature of eigenstate transitions due to the presence of disorder. We derive Harris-type bounds on the finite-size scaling exponents of the mean entanglement entropy and level statistics at the many-body localization phase transition using several different arguments. Our results are at odds with recent small-size numerics, for which we estimate the crossover scales beyond which the Harris bound must hold.

研究动机与目标

• 建立无序量子系统中本征态相变有限尺寸标度行为的一般约束。
• 推导纠缠熵与谱统计比标度指数的普适界限，且不依赖于具体概率分布。
• 通过估计标度界限必须成立的交叉尺度，解决近期小系统数值结果与哈里斯界限之间的差异。
• 为多体局域化系统中的有限尺寸标度提供严格的解释框架，特别是在标准无序性论证失效的一维情形下。

提出的方法

• 推导一个关于有限尺寸标度下有界非负序参量均值的标度行为的一般引理。
• 将该引理应用于多体局域化相变点处的平均纠缠熵密度 $[s]$ 与平均谱统计比 $[r]$。
• 利用引理证明相关长度指数 $ u \geq 2/d$，且不依赖于中心极限定理行为或空间结构的假设。
• 估计一个交叉系统尺寸 $L^*$，若哈里斯界限被违反，则在此尺寸以上观测到的标度假设无法成立。
• 在数值研究中用高斯分布替代方盒型无序分布以估算 $L^*$，得到 $L^* \approx 500-5000$。
• 将该界限推广至更高阶矩（如纠缠熵的方差）以及局域相内的相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖中心极限定理或空间结构的前提下，为本征态相变推导普适的有限尺寸标度界限？
• RQ2 为何近期小系统数值研究报告的标度指数违反了哈里斯界限 $ u \geq 2/d$？
• RQ3 最小系统尺寸 $L^*$ 是多少，使得在此尺寸以上，观测到的标度假设无法与哈里斯界限一致？
• RQ4 相同的标度界限是否适用于非空间序参量（如谱统计比 $[r]$）？
• RQ5 这些界限如何约束现象学实空间重整化群研究与一级相变情景？

主要发现

• 在多体局域化到热化（ETH）相变点，相关长度指数满足 $\nu \geq 2/d$，适用于任意空间维度 $d$，且推导过程不依赖中心极限定理假设。
• 该界限对平均纠缠熵密度 $[s]$ 与平均谱统计比 $[r]$ 具有普适性，即使在标准无序性论证失效的一维系统中亦成立。
• 小系统中（$L \lesssim 500$）数值结果看似违反哈里斯界限，极可能源于有限尺寸效应，存在一个交叉尺度 $L^* \approx 500-5000$，在此以上界限必须成立。
• 所推导的界限对无序分布的选择具有鲁棒性，并适用于更高阶矩（如纠缠熵的方差）。
• 即使在一级相变中，该界限依然成立，此时有限尺寸标度长度仍满足 $\nu \geq 2/d$。
• 本研究结果为现象学模型与数值研究提供了严格约束，表明小系统中观测到的标度指数很可能随系统尺寸增大而趋近于该界限。