[论文解读] Finite size scaling for homogeneous pinning models

Julien Sohier|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文为均匀钉扎模型中的有限尺寸标度建立了严格的数学框架，表明在临界点附近，重标记得 renewal 过程依分布收敛到由稳定子扩散过程驱动的极限过程。关键结果识别出当关联长度发散时，系统零水平集的标度极限，通过耦合与一致可积性论证推导出明确的收敛速率。

ABSTRACT

Pinning models are built from discrete renewal sequences by rewarding (or penalizing) the trajectories according to their number of renewal epochs up to time $N$, and $N$ is then sent to infinity. They are statistical mechanics models to which a lot of attention has been paid both because they are very relevant for applications and because of their {\sl exactly solvable character}, while displaying a non-trivial phase transition (in fact, a localization transition). The order of the transition depends on the tail of the inter-arrival law of the underlying renewal and the transition is continuous when such a tail is sufficiently heavy: this is the case on which we will focus. The main purpose of this work is to give a mathematical treatment of the {\sl finite size scaling limit} of pinning models, namely studying the limit (in law) of the process close to criticality when the system size is proportional to the correlation length.

研究动机与目标

• 为临界局域化转变附近的均匀钉扎模型中的有限尺寸标度提供数学上严格的处理。
• 在系统尺寸与关联长度成比例时，表征临界点附近更新过程的标度极限。
• 严格建立钉扎模型重标记得零水平集依分布收敛到涉及稳定子扩散过程的极限过程。
• 在临界点附近推导系统尺寸、逆温度与关联长度之间的显式标度关系。
• 在具有重尾到达时间的可解、精确可解模型中，验证物理有限尺寸标度假设。

提出的方法

• 使用具有重尾到达时间的离散更新过程，具体为 $\mathbf{P}(\tau_{i+1}-\tau_i = k) \sim C/k^{1+\alpha}$，其中 $\alpha \in (0,1)$，作为基础随机结构。
• 通过吉布斯测度 $\mathbf{P}_{N,\beta}$ 定义钉扎模型，该测度根据时间 $N$ 之前更新时刻的数量奖励轨迹，其中 $\beta$ 控制钉扎强度。
• 引入关联长度 $\xi(\beta) = 1/F(\beta)$，其中 $F(\beta)$ 为每格自由能，并证明当 $\beta \downarrow \beta_c$ 时，$\xi(\beta) \sim c_\alpha (\beta - \beta_c)^{-1/\alpha}$。
• 通过设定 $\beta = \beta_c + \varepsilon / b_N$，其中 $b_N \sim N^{\alpha}$，应用有限尺寸标度假设，使系统尺寸 $N$ 与关联长度 $\xi(\beta)$ 处于同一尺度。
• 采用弱收敛技术与一致可积性（通过引理2）证明重标记得更新过程 $\tau_{(N)}$ 依分布收敛到由 $\alpha$-稳定子扩散过程驱动的极限过程 $\mathcal{A}_\alpha$。
• 使用耦合论证与紧致性控制过程在边界 $t=1$ 附近的行为，特别是通过更新集的最大值，并建立配分函数比的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系统尺寸 $N$ 与临界点附近的关联长度 $\xi(\beta)$ 成比例时，钉扎模型的有限尺寸标度极限行为如何？
• RQ2 当 $\beta$ 调至 $\beta_c + \varepsilon / b_N$ 且 $b_N \sim N^\alpha$ 时，吉布斯测度 $\mathbf{P}_{N,\beta}$ 下重标记得更新过程 $\tau_{(N)}$ 的极限分布为何？
• RQ3 能否通过耦合与一致可积性严格证明钉扎模型零水平集收敛到涉及稳定子扩散过程的极限过程？
• RQ4 当 $N \to \infty$ 时，配分函数比 $Z_{N,\beta_c + \varepsilon / b_N} / Z_{N,\beta_c}$ 的渐近行为如何？
• RQ5 更新集的最大值 $\max \tau_{(N)}$ 在有限尺寸标度极限中起什么作用，它如何影响收敛到极限测度？

主要发现

• 在有限尺寸标度假设下，当 $N \to \infty$ 时，重标记得更新过程 $\tau_{(N)}$ 依分布收敛到由 $\alpha$-稳定子扩散过程驱动的极限过程 $\mathcal{A}_\alpha$。
• 该收敛性在底层更新过程为常返（$\beta_c = 0$）与遍历情形（$K(\infty) > 0$）下均成立，且具有显式校正项。
• 有限尺寸标度极限由联合分布 $\left(\tau_{(N)}, \frac{|\tau_{(N)}|}{b_N}\right)$ 收敛到 $\left(\mathcal{A}_\alpha, L_1^{(\alpha)}\right)$ 所刻画，其中 $L_1^{(\alpha)}$ 为稳定子扩散过程在时间 1 的局部时间。
• 配分函数比满足 $\frac{Z_{N,\beta_c + \varepsilon / b_N}}{Z_{N,\beta_c}} \to \mathbf{E}\left[ e^{\varepsilon L_1^{(\alpha)}} \frac{\alpha \pi}{\sin(\alpha \pi)} (1 - \max \mathcal{A}_\alpha)^\alpha \right]$，当 $N \to \infty$ 时。
• 收敛性在紧集上一致，依赖于 $e^{\varepsilon |\tau_{(N)}| / b_N}$ 的一致可积性，该性质通过耦合论证与矩界建立。
• 该过程的极限分布由稳定子扩散过程与更新集的边界行为完全刻画，且几乎必然有 $\max \mathcal{A}_\alpha < 1$。