[论文解读] Finite-strain Bloch wave propagation by the transfer matrix method

Mahmoud I. Hussein, Romik Khajehtourian+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2014

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 54被引用 15

一句话总结

本文采用传递矩阵法构建分析框架，用于模拟一维声子晶体中有限应变布洛赫波的传播，结合了层面上的精确有限应变色散关系，并近似处理周期介质的能带结构。关键结果为揭示了一种振幅相关的弹性能带结构，在波振幅 B/a = 0.125 时，非线性波形畸变与周期性色散达到实用平衡，即使在波长短至单位晶胞尺寸三倍的情况下亦可观察到。

ABSTRACT

The introduction of nonlinearity alters the dispersion of elastic waves in solid media. In this paper, we present an analytical formulation for the treatment of finite-strain Bloch waves in one-dimensional phononic crystals. Considering longitudinal waves, the exact dispersion relation in each homogeneous layer is first obtained and subsequently used within the transfer matrix method to derive an approximate dispersion relation for the overall periodic medium. The result is an amplitude-dependent elastic band structure that may be used to elucidate the interplay between the waveform steepening and spreading effects that emerge due to the nonlinearity and periodicity, respectively. For example, for a wave amplitude on the order of one eighth of the unit-cell size in a demonstrative structure, the two effects are practically in balance for wavelengths as small as roughly three times the unit-cell size.

研究动机与目标

• 开发一种用于模拟周期性弹性介质中有限应变布洛赫波传播的解析方法。
• 量化非线性引起的波形畸变与周期性引起的色散在弹性波传播中的相互作用。
• 推导出能捕捉有限应变与周期性共同效应的振幅相关色散关系。
• 识别非线性与色散效应达到平衡的条件，可能实现孤立波样行为。

提出的方法

• 利用格林-拉格朗日应变度量，为每个均匀层推导出精确的有限应变色散关系。
• 将传递矩阵法应用于单元胞，假设应变-位移梯度为线性，以近似整体周期介质的色散特性。
• 该方法结合了精确的层内非线性运动学与近似的全局周期性处理。
• 所得色散关系与频率和波数相关，并因有限应变而显式表现出振幅依赖性。
• 该方法可计算有限应变条件下相速度与群速度曲线。
• 通过将群速度曲线与均质介质极限进行比较，并评估最大群速度之间的差距，验证了方法的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限应变如何改变一维声子晶体中布洛赫波的色散特性？
• RQ2 在有限应变介质中，非线性波形畸变与周期性色散在多大程度上可相互平衡？
• RQ3 哪些波振幅与波数范围可实现波形演化过程中非线性与周期性效应的实用平衡？
• RQ4 在应变线性化假设下，传递矩阵法在多大程度上近似了周期介质中的真实有限应变色散？
• RQ5 格林-拉格朗日应变度量在塑造所得振幅相关能带结构中起什么作用？

主要发现

• 在波振幅 B/a = 0.125 时，非线性波形畸变与周期性色散效应在波数 κ = 5π/8 以内大致达到平衡，对应波长约为单位晶胞尺寸的三倍。
• 有限应变能带结构表现出相对于线性无限小应变情况的超音速相速度与群速度，且群速度超过均质介质的值。
• 声子晶体的最大群速度超过均质介质，表明传递矩阵法中的线性近似引入了可测量的误差，该误差通过两条曲线之间的差距得以量化。
• 非线性引起的波形展宽在模态形状快照中可直观观察到，尤其在通带区域，固定频率下出现更长的波长。
• 在禁带区域，非线性增强了空间衰减，与同一频率下衰减常数增大的预测一致。
• 该方法表明，在特定振幅与波数条件下，可能产生类似孤立波的波行为，特别是当非线性与色散效应相互抵消时。