[论文解读] Finite subgraphs of uncountably chromatic graphs

Péter Komjáth, Saharon Shelah|ArXiv.org|Dec 4, 2002

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文证明了不可数色数图的一致性，其有限子图的色数增长可任意缓慢，从而解决了Erdős提出的250美元问题。研究显示，Taylor猜想在某些集合论模型中可能不成立，同时证明了存在色数可任意大、且其有限子图均为给定不可数色数图的诱导子图的图。

ABSTRACT

It is consistent that for every monotonically increasing function f:omega->omega there is a graph with size and chromatic number aleph_1 in which every n-chromatic subgraph has at least f(n) elements (n >= 3). This solves a $250 problem of Erdos. It is also consistent that there is a graph X with Chr(X)=|X|= aleph_1 such that if Y is a graph all whose finite subgraphs occur in X then Chr(Y)<=aleph_2 (so the Taylor conjecture may fail).

研究动机与目标

• 解决Erdős关于不可数色数图的有限子图中色数缓慢增长的长期猜想。
• 研究每个不可数色数图是否必须包含移位图的所有有限子图，这是结构图论中的关键问题。
• 确定Taylor猜想的一致性，该猜想认为每个不可数色数图可生成任何其他不可数色数图的所有有限子图。
• 探讨图的色数与其有限子图色数之间的关系，特别是在具有特定基数约束的集合论模型中。
• 考察是否存在色数可任意大、且其有限子图均为固定不可数色数图的诱导子图的图。

提出的方法

• 使用力迫扩张，特别是乘积力迫 $P \ast Q^f$，构造出图的色数为 $\aleph_1$ 且其有限子图的色数增长可任意缓慢的模型。
• 运用汉夫数论证和有限子图色数在力迫扩张下的绝对性，控制子图中色数的增长。
• 应用Rado选择原理（或紧致性定理），扩展图使得所有诱导子图仍为给定基图 $X$ 的诱导子图。
• 使用坍塌力迫 $\text{Col}(\omega, \kappa)$ 将不可数基数缩减为 $\aleph_0$，从而在通用扩张中控制色数。
• 利用通用扩张中任意图均为 $|P \ast Q^f| = \aleph_1$ 个来自原模型的子图的并集，且每个子图均为有限色数这一事实，来界定所得图的色数。
• 在与 $Z$ 相同的顶点集上构造图 $Z'$，使得 $Z'$ 的每个诱导子图均为 $X$ 的诱导子图，方法是对每个有限子集使用有限个适当的超图。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否一致地存在，对每个函数 $f: \omega \to \omega$，一个图 $X$ 满足 $|X| = \text{Chr}(X) = \aleph_1$，使得每个 $n$-色子图至少有 $f(n)$ 个顶点？
• RQ2 Taylor猜想——即每个不可数色数图可生成任何其他不可数色数图的所有有限子图——是否可能在一致意义下为假？
• RQ3 是否一致地存在，对任意图 $X$ 满足 $\text{Chr}(X) \geq \aleph_2$，存在图 $Y$ 满足任意大的色数，且其所有有限子图均为 $X$ 的诱导子图？
• RQ4 使得每个色数至少为 $\kappa$ 的图通过其有限子图生成任意大色数图的性质的最小汉夫数是多少？
• RQ5 是否可使不可数色数图中有限子图的色数增长任意缓慢，甚至慢于任意给定函数 $f$？

主要发现

• 一致地存在，对每个单调递增函数 $f: \omega \to \omega$，存在一个图 $X$ 满足 $|X| = \text{Chr}(X) = \aleph_1$，使得对所有 $n \geq 3$，$X$ 的每个 $n$-色子图至少有 $f(n)$ 个顶点。
• 一致地存在一个图 $X$ 满足 $\text{Chr}(X) = |X| = \aleph_1$，使得任意图 $Y$ 若其所有有限子图均出现在 $X$ 中，则必有 $\text{Chr}(Y) \leq \aleph_2$，从而为Taylor猜想提供了一致的否定答案。
• 一致地存在，若 $X$ 是一个满足 $\text{Chr}(X) \geq \aleph_2$ 的图，则对每个基数 $\lambda$，存在一个图 $Y$ 满足 $\text{Chr}(Y) \geq \lambda$，使得 $Y$ 的所有有限子图均为 $X$ 的诱导子图。
• 在力迫扩张中构造的图 $Y$ 的色数被限制在 $\aleph_2$ 以内，因为 $Y$ 是 $\aleph_1$ 个来自原模型的子图的并集，每个子图均为有限色数。
• 在某些模型中，使得每个色数至少为 $\kappa$ 的图通过其有限子图生成任意大色数图的性质的汉夫数至多为 $\aleph_2$。
• 通过Rado选择原理，建立了图 $Z'$ 的存在性，使得 $Z'$ 的每个诱导子图均为 $X$ 的诱导子图，从而实现了在诱导子图约束下构造高色数图。