[论文解读] Finite subgroups of extended Morava stabilizer groups

Cédric Bujard|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文利用上同调技巧与 $p$-进域上的除环，通过共轭分类方法，对扩展 Morava 稳定子群 $Γ_n(u)$ 的有限子群进行了分类。研究建立了 $p > 2$ 与 $p = 2$ 情况下，$Γ_n(u)$ 的极大阿贝尔有限子群的扩张存在的必要与充分条件，并以上同调障碍与群扩张的链为框架，给出了完整的分类。

ABSTRACT

The problem addressed is the classification up to conjugation of the finite subgroups of the (classical) Morava stabilizer group S_n and the extended Morava stabilizer group G_n(u) associated to a formal group law F of height n over the field F_p of p elements. A complete classification in S_n is provided for any n and p. Furthermore, we show that the classification in the extended group also depends on F and its associated unit u in the ring of p-adic integers. We provide a theoretical framework for the classification in G_n(u), we give necessary and sufficient conditions on n, p and u for the existence in G_n(u) of extensions of maximal finite subgroups of S_n by the Galois group Gal(F_{p^n}/F_p), and whenever such extension exist we enumerate their conjugacy classes. We illustrate our methods by providing a complete and explicit classification in the case n=2.

研究动机与目标

• 对扩展 Morava 稳定子群 $Γ_n(u)$ 的所有有限子群进行共轭分类。
• 确定 $n$、$p$ 与 $u$ 的条件，使得 $Γ_n(u)$ 的极大阿贝尔有限子群存在扩张。
• 通过伽罗瓦群在 $Γ_n$ 上的作用，分析 $Γ_n(u)$ 中有限子群的结构。
• 基于群扩张的链，以共轭不变量对 $Γ_n(u)$ 中的有限子群进行上同调分类。
• 研究 $Γ_n(u)$ 的极大有限子群，特别是当 $p=2$ 时包含四元数群 $Q_8$ 的情形。

提出的方法

• 利用同构 $Γ_n(u) \to Δ_n^\times / \langle pu \rangle$，其中 $Δ_n$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 上的中心除环，其不变量为 $1/n$。
• 应用上同调技巧，特别是群上同调，对 $Γ_n$ 的有限子群扩张进行分类。
• 利用局部域上除环的结构及其单位群，分析有限子群。
• 在上同调框架中，利用有限子群与特定扩张链之间的典范双射。
• 应用局部类域论与布饶尔群理论，研究 $Δ_n^\times$ 及其商群的结构。
• 分析伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}/n$ 通过弗罗贝尼乌斯元素 $\xi_F$ 的共轭作用对 $Γ_n$ 的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $n$、$p$ 与 $u$，存在有限子群 $F \subset \u0393_n(u)$，使得其通过分裂扩张 $1 \to G \to F \to \mathbb{Z}/n \to 1$ 扩张了 $Γ_n$ 的极大阿贝尔有限子群 $G$？
• RQ2 如何利用上同调不变量对 $Γ_n(u)$ 的有限子群进行共轭分类？
• RQ3 在何种条件下，$Γ_n(u)$ 的有限子群包含四元数型的 Sylow 2-子群？
• RQ4 当 $p$ 为奇数与 $p=2$ 时，$Γ_n(u)$ 的有限子群的 $p$-部分如何表现？
• RQ5 当 $n=2$ 时，$Γ_n(u)$ 的极大有限子群的结构是什么？

主要发现

• 通过涉及扩张链的上同调分类方案，$Γ_n(u)$ 的有限子群实现了共轭类的分类。
• 当 $p > 2$ 时，$Γ_n$ 的极大阿贝尔有限子群在 $Γ_n(u)$ 中存在扩张的充要条件是 $H^2(\mathbb{Z}/n, G)$ 中的上同调类为零，其中 $G$ 为极大阿贝尔子群。
• 当 $p = 2$ 时，分类涉及 $Q_8$ 作为 Sylow 2-子群的存在性，并依赖于 $Γ_n(u)$ 中该群的 $2$-部分结构。
• 本文建立了 $Γ_n(u)$ 的有限子群共轭类与特定上同调数据之间的典范双射，包括 I 型、II 型与 III 型扩张。
• 当 $n=2$ 时，本文显式计算了 $Γ_2(u)$ 的极大有限子群，表明其同构于 $O_{48}$ 或 $SD_{16}$，具体取决于 $u$。
• 通过 $Δ_n$ 的赋值与单位群结构，$Γ_n(u)$ 作为 $Δ_n^\times / \langle pu \rangle$ 的结构允许对有限子群进行精确描述。