[论文解读] Finite symmetric graphs with two-arc transitive quotients III

Guangjun Xu, Sanming Zhou|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Finite Group Theory Research被引用 4

一句话总结

本文建立了有限对称图 $Γ$ 的商图 $Γ_{\mathcal{B}}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要与充分条件，当块大小 $v - k = p$ 为奇素数 $p$ 时，其中 $v$ 为块大小，$k$ 为相邻块中的邻居数。结果表明，当 $p = 3$ 或 $5$ 时，这些条件本质上是充分的，其依据是图-块结构所诱导的 2-点传递块设计。

ABSTRACT

A graph $\Ga$ is $G$-symmetric if $\Ga$ admits $G$ as a group of automorphisms acting transitively on the set of vertices and the set of arcs of $\Ga$, where an arc is an ordered pair of adjacent vertices. In the case when $G$ is imprimitive on $V(\Ga)$, namely when $V(\Ga)$ admits a nontrivial $G$-invariant partition $\BB$, the quotient graph $\Ga_{\BB}$ of $\Ga$ with respect to $\BB$ is always $G$-symmetric and sometimes even $(G, 2)$-arc transitive. (A $G$-symmetric graph is $(G, 2)$-arc transitive if $G$ is transitive on the set of oriented paths of length two.) In this paper we obtain necessary conditions for $\Ga_{\BB}$ to be $(G, 2)$-arc transitive (regardless of whether $\Ga$ is $(G, 2)$-arc transitive) in the case when $v-k$ is an odd prime $p$, where $v$ is the block size of $\BB$ and $k$ is the number of vertices in a block having neighbours in a fixed adjacent block. These conditions are given in terms of $v, k$ and two other parameters with respect to $(\Ga, \BB)$ together with a certain 2-point transitive block design induced by $(\Ga, \BB)$. We prove further that if $p=3$ or $5$ then these necessary conditions are essentially sufficient for $\Ga_{\BB}$ to be $(G, 2)$-arc transitive.

研究动机与目标

• 当 $v - k = p$ 为奇素数时，确定商图 $\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要条件。
• 通过非平凡的 $G$-不变划分 $\BB$，分析 $G$ 在 $V(\Ga)$ 上的不传递性对结构施加的约束。
• 研究由对偶 $(\Ga, \BB)$ 诱导的 2-点传递块设计在决定商图的 2-弧传递性中的作用。
• 为 $p = 3$ 和 $p = 5$ 建立所推导条件的充分性，从而在这些情况下完成分类。

提出的方法

• 分析 $G$ 在 $\Ga$ 的顶点集和弧上的作用，重点关注由 $G$-不变划分 $\BB$ 所诱导的商图 $\Ga_{\BB}$。
• 引入并研究从 $\BB$ 中块之间的邻接结构所导出的 2-点传递块设计。
• 利用参数 $v$、$k$ 以及与块结构相关的两个附加参数，形式化 $\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要条件。
• 应用组合与群论技术，刻画 $G$ 在 $\Ga_{\BB}$ 中长度为二的有向路径上的传递性质。
• 证明当 $p = 3$ 或 $5$ 时，必要条件本质上是充分的，利用块设计的结构约束。
• 利用 $G$ 在 $\Ga$ 和 $\Ga_{\BB}$ 上的对称性与传递性，推导块邻接模式的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $v - k = p$ 为奇素数时，对于 $G$-对称图 $\Ga$ 关于 $G$-不变划分 $\BB$ 的商图 $\Ga_{\BB}$ 在何种条件下为 $(G, 2)$-弧传递？
• RQ2 由 $(\Ga, \BB)$ 诱导的 2-点传递块设计的存在性如何影响 $\Ga_{\BB}$ 的 2-弧传递性？
• RQ3 当 $v - k = p$ 且 $p$ 为奇素数时，块邻接模式中会出现何种结构约束？
• RQ4 对于哪些素数 $p$，$\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要条件也是充分的？
• RQ5 当 $p = 3$ 或 $p = 5$ 时，能否完全确定 $\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的刻画？

主要发现

• 在 $v$、$k$、两个附加参数以及由 $(\Ga, \BB)$ 诱导的 2-点传递块设计的术语下，推导出 $\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要条件。
• 当 $p = 3$ 时，$\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要条件本质上是充分的。
• 当 $p = 5$ 时，$\Ga_{\BB}$ 为 $(G, 2)$-弧传递的必要条件也本质上是充分的。
• 2-点传递块设计的结构在决定商图的传递性质中起着核心作用。
• 在给定对称性假设下，本研究为 $v - k = 3$ 或 $5$ 的情形提供了 $(G, 2)$-弧传递商图的完整刻画。
• 研究结果扩展了对具有不传递自同构群的对称图及其商结构的理解。