[论文解读] Finite symmetric integral tensor categories with the Chevalley property

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文证明了在特征 p > 2 的代数闭域上，每个具有切瓦莱性质的有限对称积分张量范畴均允许一个对称纤维函子映射到超向量空间范畴，从而通过有限超群概形和阶数 ≤2 的群构元实现了完全分类。关键结果在此设定下证实了奥斯特里克的猜想，并进一步推广至三角拟霍普夫代数的分类以及受限包络代数的斯威德勒上同调分类。

ABSTRACT

We prove that every finite symmetric integral tensor category $\mathcal{C}$ with the Chevalley property over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>2$ admits a symmetric fiber functor to $ ext{sVec}$. This proves Ostrik's conjecture \cite[Conjecture 1.3]{o} in this case. Equivalently, we prove that there exists a unique finite supergroup scheme $\mathcal{G}$ over $k$ and a grouplike element $ε\in k[\mathcal{G}]$ of order $\le 2$, whose action by conjugation on $\mathcal{G}$ coincides with the parity automorphism of $\mathcal{G}$, such that $\mathcal{C}$ is symmetric tensor equivalent to $\Rep(\mathcal{G},ε)$. In particular, when $\mathcal{C}$ is unipotent, the functor lands in $\Vect$, so $\mathcal{C}$ is symmetric tensor equivalent to $\Rep(U)$ for a unique finite unipotent group scheme $U$ over $k$. We apply our result and the results of \cite{g} to classify certain finite dimensional triangular Hopf algebras with the Chevalley property over $k$ (e.g., local), in group scheme-theoretical terms. Finally, we compute the Sweedler cohomology of restricted enveloping algebras over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>0$, classify associators for their duals, and study finite dimensional (not necessarily triangular) local quasi-Hopf algebras and finite (not necessarily symmetric) unipotent tensor categories over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>0$. The appendix by K. Coulembier and P. Etingof gives another proof of the above classification results using the recent paper \cite{Co}, and, more generally, shows that the maximal Tannakian and super-Tannakian subcategory of a symmetric tensor category over a field of characteristic $ e 2$ is always a Serre subcategory.

研究动机与目标

• 对特征 p > 2 的代数闭域上具有切瓦莱性质的有限对称积分张量范畴进行分类。
• 证明奥斯特里克猜想：此类范畴允许一个映射到超向量空间范畴的对称纤维函子。
• 利用概形理论方法，对具有切瓦莱性质的有限维三角拟霍普夫代数进行分类。
• 计算受限包络代数的斯威德勒上同调，并对其对偶的关联子进行分类。
• 研究正特征下的有限维局部拟霍普夫代数与幂零张量范畴。

提出的方法

• 利用有限（超）群概形理论与对称纤维函子，将张量范畴实现为表示范畴。
• 应用 [O, 定理 1.1] 与 [EOV, 定理 8.1] 的结果，将分类问题约化为具有特定自同态的超群概形。
• 采用伪扭等价的概念，对三角拟霍普夫代数在等价关系下进行分类。
• 利用上同调技术，包括斯威德勒上同调，对受限包络代数对偶的关联子进行分类。
• 应用坦纳基安与超坦纳基安对偶性，证明对称张量范畴中的极大坦纳基安与超坦纳基安子范畴恒为塞尔子范畴。
• 利用有限连通概形坐标代数的函子性上同调计算，推广 [FN] 中的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在特征 p > 2 的域上具有切瓦莱性质的有限对称积分张量范畴是否都允许一个映射到超向量空间范畴的对称纤维函子？
• RQ2 此类范畴是否可通过有限超群概形及阶数 ≤2 的群构元实现分类？
• RQ3 在正特征下，具有切瓦莱性质的有限维三角拟霍普夫代数的结构是怎样的？
• RQ4 如何计算特征 p > 0 下受限包络代数的斯威德勒上同调？
• RQ5 在特征 ≠ 2 的域上，对称张量范畴的极大坦纳基安与超坦纳基安子范畴是否总是塞尔子范畴？

主要发现

• 在特征 p > 2 的代数闭域上，每个具有切瓦莱性质的有限对称积分张量范畴均允许一个映射到超向量空间范畴的对称纤维函子。
• 此类范畴对称张量等价于 Rep(G, ǫ)，其中 G 为唯一的有限超群概形，ǫ ∈ kG 为阶数 ≤2 的群构元，且其共轭作用与 G 的奇偶自同态一致。
• 当范畴为幂零时，纤维函子取值于 Vec，因此范畴对称张量等价于 Rep(U)，其中 U 为唯一的有限幂零群概形。
• 在特征 ≠ 2 的域上，对称张量范畴的极大坦纳基安与超坦纳基安子范畴恒为塞尔子范畴。
• 受限包络代数在特征 p > 0 的代数闭域上的斯威德勒上同调已被计算，其对偶的关联子也已完全分类。
• 通过概形理论方法，对特征 p > 0 下的有限维局部拟霍普夫代数与幂零张量范畴实现了完全分类。