[论文解读] Finite-Temperature Scrambling of a Random Hamiltonian

Sagar Vijay, Ashvin Vishwanath|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文在大N极限下，对来自高斯酉系族（GUE）的哈密顿量的量子系统，精确计算了有限温度下的非序时相关函数（OTOC）。结果表明，OTOC在早期呈现二次增长，并随时间以幂律衰减趋于渐近值，其中衰减指数取决于温度和算符类型。关键的是，它识别出一个相干 scrambling 时段，在此期间 OTOC 满足幺正性破缺条件，表明在时间尺度 $ t_c \sim J^{-1} $ 上实现有效信息 scrambling，该时间尺度与低温下的 scrambling 时间 $ t_s $ 一致。

ABSTRACT

We study the finite-temperature scrambling behavior of a quantum system described by a Hamiltonian chosen from a random matrix ensemble. This effectively (0+1)-dimensional model admits an exact calculation of various ensemble-averaged out-of-time-ordered correlation functions in the large-$N$ limit, where $N$ is the Hilbert space dimension. For a Hamiltonian drawn from the Gaussian unitary ensemble, we calculate the ensemble averaged OTOC at all temperatures. In addition to an early time quadratic growth of the averaged out-of-time-ordered commutator (OTOC), we determine that the OTOC saturates to its asymptotic value as a power-law in time, with an exponent that depends both on temperature, and on one of four classes of operators appearing in the correlation function, that naturally emerge from this calculation. Out-of-time-ordered correlation functions of operators that are distributed around the thermal circle take a time $t_{s}\sim β$ to decay at low temperatures. We generalize these exact results, by demonstrating that out-of-time-ordered correlation functions averaged over any ensemble of Hamiltonians that are invariant under unitary conjugation $H ightarrow {U} H {U}^{\dagger}$, exhibit power-law decay to an asymptotic value. We argue that this late-time behavior is a generic feature of unitary dynamics with energy conservation. Finally, by comparing the OTOC with a commutator-anticommutator correlation function, we examine whether there is a time window over which a typical Hamiltonian behaves as a "coherent scrambler" in the language of Ref. \cite{Kitaev_IAS, Kitaev_Suh}.

研究动机与目标

• 理解具有随机哈密顿量的量子系统的普遍有限温度 scrambling 动力学。
• 在大N极限下，对 GUE 分布的哈密顿量精确计算系综平均的非序时相关函数（OTOC）。
• 确定典型随机哈密顿量是否表现出相干 scrambling 行为，即在早期时间，散射矩阵出现幺正性破缺。
• 将 OTOC 的晚近幂律衰减推广至任何在幺正共轭下不变的哈密顿量系综。
• 将 OTOC 动力学与对易子-反对易子相关函数进行比较，以评估相干 scrambling 窗口的存在。

提出的方法

• 该研究采用一个 (0+1) 维模型，其哈密顿量从高斯酉系族（GUE）中采样，从而在大N极限下实现精确计算。
• 利用随机矩阵理论技术，计算系综平均的 OTOC $ \overline{C_\beta(t)} = \frac{1}{2} \left\langle \left| [V(t), W(0)] \right|^2 \right\rangle_\beta $。
• 分析包括计算量 $ D_\beta(t) $，定义为 $ \left\langle W(0)V(t)^2W(0) \right\rangle_\beta $，以评估相干 scrambling 条件 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $。
• 作者在大N极限下推导出 $ \overline{D_\beta(t)} $ 和 $ \overline{C_\beta(t)} $ 的精确表达式，涉及修正贝塞尔函数 $ I_1 $ 和 $ I_2 $，并分析其渐近行为。
• 根据算符的迹和乘积结构，将算符划分为四类，这些分类决定了 OTOC 的幂律衰减指数。
• 研究证明，幂律衰减至渐近值是具有能量守恒的幺正动力学的普遍特征，适用于任何幺正不变的哈密顿量系综。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机哈密顿量的 OTOC 是否表现出普遍的晚近幂律衰减？如果是，衰减指数由什么决定？
• RQ2 典型随机哈密顿量是否能作为 Kitaev 和 Suh 定义的‘相干 scrambler’，在早期时间满足条件 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $？
• RQ3 相干 scrambling 时间 $ t_c $ 与 scrambling 时间 $ t_s $ 如何比较？在低温下是否呈现 $ J^{-1} $ 的标度行为？
• RQ4 由其迹和乘积结构定义的四类算符在决定 OTOC 晚近行为中起什么作用？
• RQ5 OTOC 的幂律衰减至渐近值是否是具有能量守恒的幺正动力学的普遍特征，还是仅限于随机矩阵系综？

主要发现

• OTOC 在所有温度下均表现出早期二次增长，$ \overline{C_\beta(t)} \sim J^2 t^2 $，表明算符快速扩散。
• OTOC 随时间以幂律衰减趋于其渐近值，$ \sim t^{-\alpha} $，其中指数 $ \alpha $ 取决于温度和算符类型。
• 在低温下，对于不相交的迹为零算符，在窗口 $ 0 \ll t \ll J^{-1} $ 内满足相干 scrambling 条件 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $，表明实现了有效信息 scrambling。
• 相干 scrambling 时间 $ t_c $（即该条件开始出现的时间）与 scrambling 时间 $ t_s \sim J^{-1} $ 属于同一数量级，表明在低温下 scrambling 是相干的。
• 在低温下，分布在热圈上的算符的非序时相关函数在时间 $ t_s \sim \beta $ 内衰减，表明衰减具有热尺度时间特征。
• 证明 OTOC 衰减至渐近值的幂律行为是具有能量守恒的幺正动力学的普遍特征，不仅适用于随机矩阵系综，也适用于任何幺正不变的哈密顿量系综。