[论文解读] Finite-temperature topological entanglement entropy for CSS codes

Zhi Li, Roger S. K. Mong|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Neural dynamics and brain function参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文研究了Calderbank-Shor-Steane（CSS）码中的有限温度拓扑纠缠熵（TEE），包括传统的拓扑序和分形子模型。证明了TEE在温度上是分段常数，仅在相变点处出现不连续性，并表明所有二维和三维拓扑CSS码均表现出零温相变，意味着在有限温度下拓扑序会因热不稳定而崩溃。

ABSTRACT

We consider topological entanglement entropy (TEE) at finite temperature for CSS codes, which include some ordinary topological-ordered systems such as the toric code and some fracton models such as the Haah's code and the X-cube model. We find, under the assumption that there is no extended critical phase, the finite-temperature TEE is a piecewise constant function of the temperature, with possible discontinuities only at phase transitions. We then consider phase transitions of CSS codes. We claim that there must exist a phase transition at zero temperature for any CSS codes in 2D and 3D with topological order. This statement can be rigorous proved for some familiar examples, while for general models it can be argued based on the low-temperature expansion. This indicates the break down of topological orders at finite temperature. We also discuss possible connections with self-correcting quantum memory.

研究动机与目标

• 理解拓扑量子码中有限温度下拓扑纠缠熵（TEE）的行为。
• 确定二维和三维CSS码中的拓扑序是否能抵抗热涨落。
• 研究吉布斯态中的相变与拓扑量子存储稳定性的关联。
• 分析低温展开和分形激发在表征热不稳定性中的作用。
• 评估这些结果对拓扑码中自纠错量子存储的影响。

提出的方法

• 利用CSS码的配分函数Z(β)，分析TEE随逆温度β的变化。
• 应用低温展开技术，研究由分形激发引起的自由能发散。
• 利用连通分形算符对配分函数对数的贡献，导致微扰展开失效的事实。
• 推导代表性模型的精确配分函数：二维/三维量子码、X-cube模型和Haah's码。
• 基于相结构，建立TEE为分段常数，仅在临界温度处出现不连续性。
• 利用已知模型中‘自由区域’的存在，显式计算TEE，并通过低能有效理论将论证推广至一般CSS码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在CSS码中，拓扑纠缠熵（TEE）如何随温度变化？
• RQ2 有限温度下的TEE能否作为CSS码中拓扑相的非局域序参量？
• RQ3 二维和三维拓扑CSS码是否在零温下表现出相变，这对热稳定性有何含义？
• RQ4 分形激发和连通算符在低温展开失效中扮演什么角色？
• RQ5 零温相变的存在如何影响自纠错量子存储的潜力？

主要发现

• 任何拓扑CSS码的有限温度TEE是温度的分段常数函数，仅在相变点处出现不连续性。
• 所有二维和三维拓扑CSS码均在零温下表现出相变，表明在有限温度下拓扑序会崩溃。
• 对于二维量子码、X-cube模型和Haah's码，TEE在T=0+时下降，并在临界温度Tc之前保持恒定，之后消失。
• 自由能f(β)的低温展开因连通分形算符的贡献而失效，这些贡献在配分函数的对数中无法被抵消。
• 通过低温展开和分形生成元的存在，论证了一般二维和三维拓扑CSS码中存在零温相变。
• 这些结果表明，二维和三维拓扑CSS码在任何有限温度下均不具备自纠错性，因为热吉布斯态在T=0处经历临界相变。