[论文解读] Finite time blow-up for the nematic liquid crystal flow in dimension two

Chen‐Chih Lai, Fanghua Lin+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 60被引用 5

一句话总结

该论文通过一种新颖的内-外粘合方法，为二维有界区域内的简化向列液晶流构建了有限时间爆破解。证明了在任意预设的有限个点处同时爆破的解的存在性，并给出了爆破时刻附近精确的渐近行为描述。

ABSTRACT

We consider the initial-boundary value problem of a simplified nematic liquid crystal flow in a bounded, smooth domain $Ω\subset \mathbb R^2$. Given any $k$ distinct points in the domain, we develop a new {\em inner--outer gluing method} to construct solutions which blow up exactly at those $k$ points as $t$ goes to a finite time $T$. Moreover, we obtain a precise description of the blow-up.

研究动机与目标

• 建立二维有界区域中简化向列液晶流有限时间爆破解的存在性。
• 构造在区域中任意给定的有限个互异点处精确爆破的解。
• 提供爆破时刻T附近爆破轮廓的精确渐近描述。
• 将内-外粘合方法推广至纳维-斯托克斯方程与调和映射热方程耦合系统的应用。

提出的方法

• 为耦合的向列液晶流系统专门设计了一种新型内-外粘合方法，结合调和映射热方程与纳维-斯托克斯方程的解。
• 采用多尺度假设，将解u分解为k个局域化轮廓U_j（每个对应一个爆破点）以及内区和外区的修正项。
• 求解k个内问题（在爆破点附近局域化）和一个外问题（在整个空间上），并通过内-外界面处的匹配条件连接。
• 在精心构造的加权函数空间中应用Schauder不动点定理，证明满足所需衰减与正则性条件的解的存在性。
• 采用加权范数和斯托克斯系统的线性估计来控制纳维-斯托克斯部分，将非线性项v·∇v视为低阶扰动。
• 通过斯托克斯系统线性理论的摄动论证，结合在爆破区域中对非线性的精细控制，利用小量估计实现控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维向列液晶流在预设爆破位置处构造有限时间爆破解？
• RQ2 此类解在爆破时刻T附近的精确渐近行为是什么？
• RQ3 内-外粘合方法能否被适配以处理二维中纳维-斯托克斯与调和映射热方程耦合系统？
• RQ4 在强非线性存在下，速度场v在爆破区域中的行为如何？其是否受线性斯托克斯算子控制？
• RQ5 能否构造在多个互异点处同时爆破且具有受控轮廓的解？

主要发现

• 作者构造了简化向列液晶流的解，其在有界光滑区域Ω ⊂ ℝ²中任意给定的k个互异点处精确爆破。
• 爆破发生在有限时间T > 0，且在每个爆破点附近，解表现出精确的渐近轮廓，其尺度满足λ_j(t) ∼ κ_j(T−t)/|log(T−t)|²（其中κ_j > 0）。
• 速度场v在适当的加权L^∞空间中被证明是受控的，其非线性项v·∇v相比向列弹性项的强迫项为低阶扰动。
• 解通过在精心选择的函数空间中应用不动点论证构造，利用Schauder不动点定理及Arzelà–Ascoli紧致性。
• 通过同时求解k个内问题和一个外问题，该方法可推广至多个爆破点，且保持一致的匹配与衰减估计。
• 该构造依赖于一种新型粘合方案，可同时处理调和映射热方程与纳维-斯托克斯耦合问题，推广了先前关于单泡爆破的结果。