[论文解读] Finite wavelength surface-tension driven instabilities in soft solids

Xuan Chen, John S. Biggins|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2015

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies被引用 3

一句话总结

本研究采用线性稳定性分析，研究软固体中由表面张力驱动的不稳定性，发现有限波长不稳定性在圆柱几何结构中是普遍存在的——这与经典的无限波长情况相反。关键发现是，不稳定性的表面张力阈值取决于几何形状和材料对比度，当弹性力与毛细力在特定 $\lambda \propto R_0$ 和 $\gamma \propto \mu R_0$ 条件下平衡时，会涌现出有限波长。结果表明，在弹性-毛细系统中，无限波长不稳定性是例外而非普遍规律。

ABSTRACT

We deploy linear stability analysis to find the threshold wavelength ($\lambda$) and surface tension ($\gamma$) of Rayleigh-Plateau type peristaltic instabilities in incompressible neo-Hookean solids in a range of cylindrical geometries with radius $R_0$. First we consider a solid cylinder, and recover the well-known, infinite wavelength instability for $\gamma\ge6 \mu R_0$, where $\mu$ is the solid's shear modulus. Second, we consider a volume-conserving (e.g. fluid filled) cylindrical cavity through an infinite solid, and demonstrate infinite wavelength instability, but for $\gamma\ge 2 \mu R_0$. Third, we consider a solid cylinder embedded in a different infinite solid, and find a finite wavelength instability with $\lambda\propto R_0$, at surface tension $\gamma \propto \mu R_0$, where the constants depend on the two solids' modulus ratio. Finally, we consider an empty cylindrical cavity through an infinite solid, and find an instability with finite wavelength, $\lambda \approx2 R_0$, for $\gamma\ge 2.543... \mu R_0$. We argue that such finite wavelengths are generic for elasto-capillary instabilities, with the simple cylinder's infinite wavelength being the exception rather than the rule.

研究动机与目标

• 理解表面张力驱动的不稳定性在软、不可压缩的新胡克型固体中发生的条件。
• 确定在各种圆柱几何结构中，是否会出现超出经典无限波长情况的有限波长不稳定性。
• 量化在实心圆柱、空腔和嵌入固体等不同构型下，不稳定性的临界表面张力和临界波长。
• 阐明材料对比度和几何形状在决定软弹性材料不稳定性特征中的作用。

提出的方法

• 应用线性稳定性分析，以模拟不可压缩新胡克型固体中的瑞利-普拉特类型不稳定性。
• 分析考虑了四种不同的几何构型：实心圆柱、无限固体中的流体填充圆柱空腔、嵌入不同无限固体中的实心圆柱，以及无限固体中的空圆柱空腔。
• 通过求解由线性化弹性方程和表面张力方程导出的特征值问题，评估小扰动的稳定性。
• 通过求解每种几何构型对应的色散关系，确定临界表面张力 $\gamma$ 和临界波长 $\lambda$。
• 分析考虑了不可压缩性，并以剪切模量 $\mu$ 作为关键材料参数。
• 系统评估了 $\lambda$ 和 $\gamma$ 对半径 $R_0$ 及材料模量比的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 实心圆柱的不稳定临界表面张力 $\gamma$ 是多少？其是否支持无限波长模式？
• RQ2 在无限固体中的流体填充圆柱空腔存在时，不稳定性的阈值和波长如何变化？
• RQ3 在不同无限固体中嵌入实心圆柱时，有限波长不稳定性如何产生？
• RQ4 在无限固体中的空圆柱空腔是否表现出有限波长不稳定性？若是，其临界 $\gamma$ 和 $\lambda$ 是多少？
• RQ5 无限波长不稳定性是否为普遍结果，还是仅限于特定几何形状？

主要发现

• 对于实心圆柱，不稳定性的阈值为 $\gamma \geq 6\mu R_0$，且为无限波长，与经典结果一致。
• 对于无限固体中的流体填充圆柱空腔，不稳定性的阈值为 $\gamma \geq 2\mu R_0$，同样为无限波长。
• 在实心圆柱嵌入不同无限固体的情况下，出现有限波长不稳定性，且 $\lambda \propto R_0$，$\gamma \propto \mu R_0$，其中比例常数取决于模量比。
• 对于无限固体中的空圆柱空腔，不稳定性的波长为有限值 $\lambda \approx 2R_0$，临界阈值为 $\gamma \geq 2.543...\mu R_0$，表明存在非平凡的几何与弹性依赖关系。
• 本研究得出结论：在弹性-毛细系统中，有限波长不稳定性是普遍现象，而无限波长情况反而是例外而非普遍规律。