[论文解读] Finitely presented residually free groups

Martin R. Bridson, James Howie+2 more|ArXiv.org|Sep 22, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文建立了群的子直积有限表示性的准则，并通过其嵌入到极限群的有限积中的典范嵌入，完全刻画了有限表示的剩余自由群。本文提出了一种算法以构造此类嵌入，解决了有限表示子群的共轭问题与成员资格问题，并将同构问题归约为有限计算，证明了剩余自由群中有限表示性与FP_n等价性的一致性。

ABSTRACT

We establish a general criterion for the finite presentability of subdirect products of groups and use this to characterize finitely presented residually free groups. We prove that, for all $n\in\mathbb{N}$, a residually free group is of type ${ m{FP}}_n$ if and only if it is of type ${ m{F}}_n$. New families of subdirect products of free groups are constructed, including the first examples of finitely presented subgroups that are neither ${ m{FP}}_\infty$ nor of Stallings-Bieri type. The template for these examples leads to a more constructive characterization of finitely presented residually free groups up to commensurability. We show that the class of finitely presented residually free groups is recursively enumerable and present a reduction of the isomorphism problem. A new algorithm is described which, given a finite presentation of a residually free group, constructs a canonical embedding into a direct product of finitely many limit groups. The (multiple) conjugacy and membership problems for finitely presented subgroups of residually free groups are solved.

研究动机与目标

• 建立子直积群有限表示性的通用准则。
• 通过投影到直积因子，以共轭性为标准刻画有限表示的剩余自由群。
• 构建一种算法，将任意有限表示的剩余自由群嵌入到极限群的有限直积中。
• 解决剩余自由群内有限表示子群的共轭与成员资格问题。
• 通过环境积的自同构将有限表示的剩余自由群的同构问题归约为有限搜索。

提出的方法

• 基于其投影到直积因子的性质，发展子直积群有限表示性的通用准则。
• 利用极限群及其完全剩余自由性质的结构，构造剩余自由群到极限群有限积的典范嵌入。
• 应用组合群论中的算法技术，包括Todd-Coxeter算法，以计算指标与子群结构。
• 利用已知的极限群自同构群算法，将同构问题归约为有限计算。
• 利用极大极限群商群与阿贝尔化作为有效不变量，以区分非同构群。
• 通过环境积的自同构群轨道等价性，将同构问题归约为有限生成集的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极限群的子直积是有限表示的？
• RQ2 每个有限表示的剩余自由群是否都能典范地嵌入到极限群的有限直积中？
• RQ3 对于剩余自由群，有限表示群类与FP_n群类是否等价？
• RQ4 能否有效解决剩余自由群中有限表示子群的共轭与成员资格问题？
• RQ5 有限表示的剩余自由群的同构问题是否可解？若可解，如何归约为有限计算？

主要发现

• 有限表示的剩余自由群可典范地嵌入到极限群的有限直积中，且环境积可分解为阿贝尔部分与非阿贝尔部分。
• 有限表示的剩余自由群类是递归可枚举的，从而支持算法枚举。
• 有限表示的剩余自由群子群的共轭与成员资格问题是可判定的。
• 对于最多含两个非阿贝尔直积因子的群，通过环境积自同构群的有限搜索可解同构问题。
• 有限表示的剩余自由群恰好是FP_n型当且仅当其为F_n型，建立了强等价性。
• 本文构造了自由群中首个有限表示子群的例子，其既非FP_∞型，也非Stallings-Bieri型，从而扩展了此类群的已知图景。