[论文解读] Finiteness of the percolation threshold for inhomogeneous long-range models in one dimension

Peter Gracar, Lukas Lüchtrath+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文为具有重尾度分布的一维非均匀长程随机图的渗滤阈值有限性建立了精确准则。通过引入有效指数 $\delta_{\text{eff}}$，作者证明当 $\delta_{\text{eff}} < 2$ 时保证存在超临界渗滤相，而当 $\delta_{\text{eff}} > 2$ 时则意味着不存在渗滤，从而解决了此类模型中巨分量存在性这一关键问题。

ABSTRACT

We consider inhomogeneous spatial random graphs on the real line. Each vertex carries an i.i.d. weight and edges are drawn such that short edges and edges to vertices with large weights occur with higher probability. This allows the study of models with long-range effects and heavy-tailed degree distributions. We introduce a new coefficient $δ_ ext{eff}$ which quantifies the influence of heavy-tailed degrees on long-range connections. We show that $δ_ ext{eff}&lt;2$ is sufficient for the existence of a supercritical percolation phase in the model and that $δ_ ext{eff}&gt;2$ always implies the absence of percolation. In particular, our results complement those in Gracar et al. (Adv. Appl. Prob., 2021), where sufficient conditions were given for the soft Boolean model and the age-dependent random connection model for both the existence and the absence of a subcritical percolation phase. Our results further provide a criterion for the existence or non-existence of a giant component in large finite graphs.

研究动机与目标

• 确定在一维非均匀长程随机图中存在超临界渗滤相的条件，这些图具有重尾度分布。
• 解决关于具有有限平均度和长程连接的模型中渗滤阈值 $\beta_c$ 是否有限的开放问题。
• 引入并分析一个新的有效指数 $\delta_{\text{eff}}$，以量化重尾度分布对长程连通性的影响。
• 基于 $\delta_{\text{eff}}$ 建立一个相变准则，以区分无限簇的存在与不存在。
• 通过提供有限图中巨分量出现的统一准则，拓展先前关于软布尔和年龄相关随机连接模型的研究。

提出的方法

• 引入一个新的系数 $\delta_{\text{eff}}$，以捕捉顶点权重尾部与长程连接概率的综合效应。
• 基于空间的二元分解使用重整化论证，分析跨尺度的连通性。
• 应用矩界和指数矩估计，以控制远距离顶点簇之间长程连接的概率。
• 采用泊松删减和标度论证，将 $\rho(0+) = 1$ 的情形约化为 $\rho(0+) < 1$ 的情形，此时标准估计适用。
• 利用顶点标记的经验分布函数和 $\mu$-正则性假设，控制局部密度和连接概率。
• 利用泊松过程的Palm分布分析从典型顶点出发的连通性，从而能够应用不变性与标度技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}$ 上的权重依赖随机连接模型在何种条件下表现出具有巨分量的超临界渗滤相？
• RQ2 当图具有有限平均度但度分布为重尾时，渗滤阈值 $\beta_c$ 是否有限？
• RQ3 重尾顶点权重与长程连接规则之间的相互作用如何影响无限簇的存在性？
• RQ4 能否基于单一有效指数推导出一个精确的阈值准则，以区分渗滤与非渗滤区域？
• RQ5 连接函数在零处的行为（$\rho(0+)$）在决定无限簇存在性方面起什么作用？

主要发现

• 只要 $\delta_{\text{eff}} < 2$，无论连接函数或权重分布的具体形式如何，均保证存在超临界渗滤相。
• 若 $\delta_{\text{eff}} > 2$，则对任意 $\beta > 0$ 均不存在无限簇，意味着 $\beta_c = \infty$。
• 临界情形 $\delta_{\text{eff}} = 2$ 在本文中尚未完全解决，但结果表明其可能处于渗滤的边界。
• 基于 $\delta_{\text{eff}}$ 的准则具有精确性，并可统一适用于一大类非均匀长程模型，包括软布尔和年龄相关随机连接模型。
• 即使 $\rho(0+) = 1$，该结果依然成立，通过泊松删减与标度将问题约化至 $\rho(0+) < 1$ 的情形，此时标准估计适用。
• 该方法表明，$\beta_c$ 的有限性仅取决于顶点权重的尾部行为与连接函数的衰减速率，这些因素被统一编码于 $\delta_{\text{eff}}$ 中。