[论文解读] Finiteness theorems for commuting and semiconjugate rational functions

Fedor Pakovich|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Functional Equations Stability Results参考文献 23被引用 9

一句话总结

该论文针对固定有理函数 $B$（其度数至少为二）的半共轭方程 $A \circ X = X \circ B$，建立了关于有理函数 $A$ 和 $X$ 的有限性定理。证明表明，除非 $B$ 是 Lattès 映射，或共轭于 $z^{\pm d}$ 或 $\pm T_d$，否则在 Möbius 变换与 $B$ 的迭代意义下，解的数量是有限的，且解的数量和度数的上界仅依赖于 $\deg B$。这给出了 Ritt 关于交换有理函数定理的有效版本。

ABSTRACT

Let $B$ be a fixed rational function of one complex variable of degree at least two. In this paper, we study solutions of the functional equation $A\circ X=X\circ B$ in rational functions $A$ and $X$. Our main result states that, unless $B$ is a Lattès map or is conjugate to $z^{\pm d}$ or $\pm T_d$, the set of solutions is finite, up to some natural transformations. In more detail, we show that there exist finitely many rational functions $A_1, A_2,\dots, A_r$ and $X_1, X_2,\dots, X_r$ such that the equality $A\circ X=X\circ B$ holds if and only if there exists a Möbius transformation $μ$ such that $A=μ\circ A_j\circ μ^{-1}$ and $X=μ\circ X_j\circ B^{\circ k}$ for some $j,$ $1\leq j \leq r,$ and $k\geq 1$. We also show that the number $r$ and the degrees $°X_j,$ $1\leq j \leq r,$ can be bounded from above in terms of the degree of $B$ only. As an application, we prove an effective version of the classical theorem of Ritt about commuting rational functions.

研究动机与目标

• 对固定度数至少为二的有理函数 $B$，分类所有满足函数方程 $A \circ X = X \circ B$ 的有理函数解 $A$ 和 $X$。
• 确定在自然变换（如 Möbius 共轭与 $B$ 的迭代）下，此类解的集合何时为有限集。
• 仅以 $\deg B$ 为参数，提供解的数量及其度数的可计算、有效上界。
• 通过证明一个有效版本的 Ritt 经典定理，将结果推广至非特殊 $B$ 的情形，即对 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$ 的迭代给出可计算的上界。

提出的方法

• 本文利用轨道丛理论及轨道丛之间最小全纯映射的理论，分析 $A \circ X = X \circ B$ 解的结构。
• 通过迭代过程将问题约化为研究初等解，该过程可降低 $X$ 的度数，并利用 Lüroth 定理将 $X$ 和 $B$ 因式分解为同一有理函数的复合。
• 应用复动力系统中的结果，特别是对零欧拉示性数轨道丛的有理函数分类，以限制 $A$、$X$ 和 $B$ 的可能形式。
• 证明：若 $B$ 非特殊，则在 Möbius 共轭与 $B$ 的迭代意义下，解的数量有限，且其数量与解的度数均仅以 $\deg B$ 为参数给出上界。
• 建立：若 $B$ 非特殊，则任意满足交换性的配对 $X$ 与 $B$ 必须满足 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$，对某对 $l,k \geq 1$，并给出一个仅依赖于 $\deg B = d$ 的可计算上界 $\delta(d)$，使得 $l \leq \delta(d)$。
• 证明：若 $B$ 为特殊情形（Lattès 映射、$z^{\pm d}$ 或 $\pm T_d$），则任意满足交换性的 $X$ 必须保持与 $B$ 相同的轨道丛结构，即 $X:\mathcal{O} \to \mathcal{O}$ 是零欧拉示性数轨道丛之间的覆盖映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 对固定度数至少为二的有理函数 $B$，在 Möbius 共轭与 $B$ 的迭代意义下，有多少有理函数 $A$ 和 $X$ 满足 $A \circ X = X \circ B$？
• RQ2 能否仅以 $\deg B$ 为参数，对这类解的数量给出上界？若能，该上界的性质是什么？
• RQ3 在何种条件下，方程 $A \circ X = X \circ B$ 在自然等价关系下仅有有限多个解？
• RQ4 Ritt 关于交换有理函数的经典定理是否可推广为有效版本，即对 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$ 的迭代给出可计算的上界？
• RQ5 当 $B$ 为特殊情形（Lattès 映射、$z^{\pm d}$ 或 $\pm T_d$）时，任意满足交换性的 $X$ 是否必然保持与 $B$ 相同的轨道丛结构？

主要发现

• 对任意非特殊有理函数 $B$（度数至少为二），方程 $A \circ X = X \circ B$ 的解 $(A,X)$ 在 Möbius 共轭与 $B$ 的迭代意义下为有限集。
• 存在有限多个有理函数 $A_1, \dots, A_r$ 和 $X_1, \dots, X_r$，使得任意解可表示为 $A = \mu \circ A_j \circ \mu^{-1}$ 与 $X = \mu \circ X_j \circ B^{\circ k}$，其中 $\mu$ 为 Möbius 变换，$j$ 为指标，$k \geq 1$，且 $r$ 与 $\deg X_j$ 仅依赖于 $\deg B$。
• 基本解的数量 $r$ 与 $\deg X_j$ 均被一个仅依赖于 $\deg B$ 的函数从上方一致有界。
• 若 $B$ 非特殊，则任意满足交换性的配对 $X$ 与 $B$ 必须满足 $X^{\circ l} = B^{\circ k}$，对某对 $l,k \geq 1$，且存在一个可计算函数 $\delta(d)$，使得当 $\deg B = d$ 时，有 $l \leq \delta(d)$。
• 对特殊 $B$，任意满足交换性的 $X$ 必须保持与 $B$ 相同的轨道丛结构，且 $X:\mathcal{O} \to \mathcal{O}$ 是零欧拉示性数轨道丛之间的覆盖映射。
• 证明表明：使得 $\mu \circ X$ 与 $B$ 交换的 Möbius 变换 $\mu$ 的数量是有限的，这蕴含了在自然等价关系下解的有限性。