[论文解读] Finsler-based field theory -- a mathematical foundation

Manuel Hohmann, Christian Pfeifer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Advanced Differential Geometry Research参考文献 60被引用 5

一句话总结

本文为Finsler时空上基于作用量的场论建立了无坐标变分框架，聚焦于对切方向具有齐次依赖关系的场。证明了自然Finsler拉格朗日量中的广义协变性意味着平均能量-动量守恒律，该守恒律在洛伦兹时空情况下退化为标准的点态守恒。

ABSTRACT

The paper introduces a general mathematical framework for action based field theories on Finsler spacetimes. As most often fields on Finsler spacetime (e.g., the Finsler fundamental function or the resulting metric tensor) have a homogeneous dependence on the tangent directions of spacetime, we construct the appropriate configuration bundles whose sections are such homogeneous fields; on these configuration bundles, the tools of coordinate free calculus of variations can be consistently applied to obtain field equations. Moreover, we prove that general covariance of natural Finsler field Lagrangians leads to an averaged energy-momentum conservation law which, in the particular case of Lorentzian spacetimes, is equivalent to the usual, pointwise energy-momentum covariant conservation law.

研究动机与目标

• 为Finsler时空上的作用量场论建立一致的数学框架。
• 通过构建适当的配置丛，解决切方向上齐次场的挑战。
• 应用无坐标变分法推导Finsler几何中的场方程。
• 研究广义协变性在Finsler时空能量-动量守恒中的影响。
• 证明Finsler时空中的平均能量-动量守恒律在洛伦兹时空情况下退化为标准的点态守恒。

提出的方法

• 构建配置丛，其截面表示Finsler时空上的齐次场。
• 应用无坐标变分法的工具推导场方程。
• 将Finsler基本函数和度量张量在切方向上的齐次性作为结构约束。
• 对Finsler场拉格朗日量施加广义协变性，以推导守恒律。
• 从变分结构中推导出平均能量-动量守恒律。
• 将该平均律与洛伦兹时空中的标准点态守恒进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有齐次场的Finsler时空场论构建一致的变分框架？
• RQ2 配置丛在处理Finsler几何中切方向齐次场时起到什么作用？
• RQ3 Finsler拉格朗日量中的广义协变性如何影响能量-动量守恒？
• RQ4 从Finsler场论中导出的能量-动量守恒律具有何种性质？
• RQ5 在何种条件下，Finsler时空中的平均能量-动量守恒律会退化为洛伦兹时空中的标准点态守恒？

主要发现

• 成功构建了适用于具有齐次场的Finsler时空场论的无坐标变分框架。
• 配置丛使得变分法能够一致地应用于齐次场。
• 自然Finsler拉格朗日量中的广义协变性导致了平均能量-动量守恒律。
• 该平均守恒律推广了广义相对论中的标准点态能量-动量守恒。
• 在洛伦兹时空情况下，该平均律退化为标准的点态守恒律。
• 该框架为将相对论场论扩展至黎曼几何之外提供了几何基础。