[论文解读] Finslerian angle-preserving connection in two-dimensional case. Regular realization

G. S. Asanov|ArXiv.org|Sep 9, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种二维Finsler空间中的新型Finsler联络，该联络在平行移动过程中同时保持向量长度与角度，推广了黎曼几何中的Levi-Civita联络。该联络通过从Finsler度量和角度函数 $ \theta(x,y) $ 导出的显式系数 $ N^k_i(x,y) $ 与 $ D^k_{in}(x,y) $ 构造而成，得到曲率张量 $ \rho_{knij} = T(b_n n_k - b_k n_n)M_{ij} $，在Finsleroid正则情形下具有全局 $ C^\infty $-正则性。

ABSTRACT

We show that the metrical connection can be introduced in the two-dimensional Finsler space such that entailed parallel transports along curves joining points of the underlying manifold keep the two-vector angle as well as the length of the tangent vector, thereby realizing isometries of tangent spaces under the parallel transports. The curvature tensor is found. In case of the Finsleroid-regular space, constructions possess the $C^{\infty}$-regular status globally regarding the dependence on tangent vectors. Many involved and important relations are explicitly derived. Keywords: Finsler metrics, angle, connection, curvature tensors

研究动机与目标

• 将黎曼几何中保距平行移动的性质推广至Finsler几何，通过同时保持向量长度与角度实现。
• 解决Finsler空间中角度结构是否能唯一生成相容联络这一基本问题。
• 在二维Finsleroid正则空间中构造一个全局 $ C^\infty $-正则的联络。
• 在保持长度与角度的约束下，推导联络系数与曲率张量的显式表达式。

提出的方法

• 通过满足 $ d_i F = 0 $（长度保持）与 $ d_i \theta = k_i $（角度保持）的系数 $ N^k_i(x,y) $ 引入联络，其中 $ \theta $ 为通过指标曲线弧长测量的角度函数。
• 推导系数 $ D^k_{in} = -\partial N^k_i / \partial y^n $，其在 $ i,n $ 上不对称，使该联络区别于黎曼几何中的Christoffel符号。
• 利用主标量 $ I $、向量 $ A_k = F C_k $ 与张量 $ A_{ijk} = I m_i m_j m_k $ 表达曲率分量。
• 通过 $ l_k N^{k}_{nmi} = 0 $ 的条件，利用 $ F N^{k}_{nmi} = -A^k_{mi} \partial_n \ln|I| $ 确保协变导数下度量张量保持不变。
• 通过 $ \rho_{knij} = E_{knij} - M^h_{ij} C^n_{hk} $ 构造曲率张量，其中 $ E_{knij} = -\partial M^{n}_{ij}/\partial y^k $，最终得到 $ \rho_{knij} = T(b_n n_k - b_k n_n)M_{ij} $。
• 在Randers度量情形下验证了该构造，表明 $ \partial\theta/\partial x^n $ 与 $ \partial F/\partial x^n $ 在 $ y $ 上光滑，确认了全局 $ C^\infty $-正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在二维Finsler空间中构造一种Finsler联络，使得平行移动同时保持向量长度与两向量之间的夹角？
• RQ2 Finsler几何中的角度结构是否能唯一确定一种相容联络，类似于黎曼几何中度量唯一确定Levi-Civita联络？
• RQ3 在确保长度与角度保持的前提下，联络系数 $ N^k_i(x,y) $ 与 $ D^k_{in}(x,y) $ 的显式形式是什么？
• RQ4 该保角联络的曲率张量是什么？它与向量场 $ k_i $ 的协变导数有何关系？
• RQ5 所构造的联络在Finsleroid正则空间中是否具有全局 $ C^\infty $-正则性，特别是在Randers度量情形下？

主要发现

• 联络系数 $ N^k_i(x,y) $ 显式构造为满足 $ d_i F = 0 $ 与 $ d_i \theta = k_i $，确保平行移动中向量长度与角度的保持。
• 曲率张量推导为 $ \rho_{knij} = T(b_n n_k - b_k n_n)M_{ij} $，其中 $ M_{ij} = \partial k_j / \partial x^i - \partial k_i / \partial x^j $，表明其依赖于向量场 $ k_i $ 的协变导数。
• 该联络在Finsleroid正则空间中具有全局 $ C^\infty $-正则性，所有分量（包括 $ \partial\theta/\partial x^n $）在 $ y $ 上光滑，已在Randers度量情形下得到验证。
• 曲率张量分量通过 $ \bar{L}_{knij} = a_{nh} \bar{L}^h_{ij} $ 表达，且在Randers情形下有 $ \rho_{knij} = \sqrt{(F/S)^3} \bar{L}_{knij} $，显示出一致的结构。
• 联络系数依赖于 $ \partial F / \partial x^n $ 与 $ \partial \theta / \partial x^n $，与黎曼Christoffel符号不同，直接嵌入了几何结构。
• 条件 $ l_k N^{k}_{nmi} = 0 $ 通过 $ F N^{k}_{nmi} = -A^k_{mi} \partial_n \ln|I| $ 满足，确保Finsler度量张量在协变导数下保持不变。