[论文解读] Finsleroid gives rise to the angle-preserving connection

G. S. Asanov|ArXiv.org|Oct 6, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入了Finsleroid Finsler空间，其特征为具有常曲率的覆盖指标面，证明此类空间可通过共形变换映射到黎曼空间，从而导出保持角度且等距的非对称但度量相容的联络。该联络允许直接诱导出类似Levi-Civita的联络与曲率张量，且对FF P D g型轴向Finsleroid进行了显式计算。

ABSTRACT

The Finslerian unit ball is called the {\it Finsleroid} if the covering indicatrix is a space of constant curvature. We prove that Finsler spaces with such indicatrices possess the remarkable property that the tangent spaces are conformally flat with the conformal factor of the power dependence on the Finsler metric function. It is amazing but the fact that in such spaces the notion of the two-vector angle defined by the geodesic arc on the indicatrix can readily be induced from the Riemannian space obtained upon the conformal transformation, which opens up the straightforward way to induce also the connection coefficients and the concomitant curvature tensor. Thus, we are successfully inducing the Levi-Civita connection from the Riemannian space into the Finsleroid space, obtaining the isometric connection. The resultant connection coefficients are not symmetric. However, the metricity condition holds fine, that is, the produced covariant derivative of the Finsleroid metric tensor vanishes identically. The particular case underlined by the axial Finsleroid of the ${\mathbf\cF\cF^{PD}_{g}}$-type is explicitly evaluated in detail. Keywords: Finsler metrics, connection, curvature, conformal properties.

研究动机与目标

• 建立一种Finsler联络，使切向量之间的夹角保持不变，类似于黎曼几何中的Levi-Civita性质。
• 探讨通过指标面上测地弧定义的夹角概念是否可用于在Finsler几何中诱导出规范联络。
• 证明具有常曲率指标面（即Finsleroid）的Finsler空间可通过共形变换映射到黎曼空间，从而实现Levi-Civita联络的转移。
• 推导并显式计算FF P D g型轴向Finsleroid的联络系数与曲率张量。

提出的方法

• 将Finsleroid定义为指标面具有常曲率的Finsler空间，确保切空间具有幂律共形因子的共形平坦性。
• 将测地弧夹角 α{x}(y1, y2) 定义为指标面上单位向量间测地弧的黎曼长度，利用诱导的黎曼度量。
• 应用共形变换将Finsleroid切空间映射到黎曼空间，然后从该黎曼结构中诱导出Levi-Civita联络与曲率张量。
• 通过提升黎曼联络，推导出Finsleroid空间中的诱导联络系数，证明其为非对称但满足度量相容条件。
• 使用标架形式与张量变换规则，显式计算FF P D g型轴向Finsleroid的联络与曲率分量。
• 通过验证Finsleroid度量张量的协变导数恒为零，确认诱导联络的度量相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过指标面上测地弧的长度来定义Finsler空间中两向量之间的夹角？该定义是否能导出规范的、保持角度的联络？
• RQ2 具有常曲率指标面（即Finsleroid）的Finsler空间是否允许通过共形映射到黎曼空间，且保持几何结构？
• RQ3 能否成功地将共形相关黎曼空间的Levi-Civita联络诱导到Finsleroid空间中，从而获得一个良好定义且度量相容的联络？
• RQ4 FF P D g型轴向Finsleroid的联络系数与曲率张量的显式形式是什么？
• RQ5 Finsleroid空间中诱导的联络是否为非对称但仍然度量相容？这对其几何解释有何影响？

主要发现

• 由常曲率指标面定义的Finsleroid空间是共形平坦的，其共形因子依赖于Finsler度量函数的幂律形式。
• 测地弧夹角 α{x}(y1, y2) 定义为指标面上测地弧的黎曼长度，从而在Finsler几何中建立了统一的夹角概念。
• Finsleroid空间中的诱导联络是非对称的，但满足度量相容条件，即Finsleroid度量张量的协变导数恒为零。
• Finsleroid空间的曲率张量通过共形变换成功地从黎曼空间中诱导而来，保持了几何一致性。
• 对于FF P D g型轴向Finsleroid，利用专用正交标架与张量变换规则，显式计算了联络系数与曲率分量。
• 该方法证实，即使联络为非线性且非对称，Finsleroid空间中仍可实现等距且保持角度的平行移动。