[论文解读] First- and second-order wave generation theory

N. Karjanto|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Coastal and Marine Dynamics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文利用级数展开法求解完全非线性水波方程，为水动力水槽中的翻板式波浪发生器建立了首阶和二阶波浪生成理论。推导出表面波面的解析解，表明首阶波为单色波成分的线性叠加，而二阶波包含和频与差频的束缚波；通过二阶波浪发生器运动的导引，可抑制不需要的自由波成分，确保仅生成所需的束缚波。

ABSTRACT

The first-order and the second-order wave generation theory is studied in this paper. The theory is based on the fully nonlinear water wave equations. The nonlinear boundary value problem (BVP) is solved using a series expansion method. Using this method, the problem becomes a set of linear, signalling problems according to the expansion order. The first-order theory leads to a homogeneous BVP. It is a system with the first-order steering of the wavemaker motion as input and the surface wave field with propagating and evanescent modes as output. The second-order theory leads to a nonhomogeneous BVP. It is a system where the second-order steering of the wavemaker motion is prescribed in such a way that the second-order part of the surface elevation far from the wavemaker contains only the bound wave component and the free wave component vanishes. The second-order surface wave elevation consists of a superposition of bichromatic frequencies.

研究动机与目标

• 为使用翻板式波浪发生器的水槽波浪生成建立理论框架。
• 解决非线性波相互作用导致的不期望的二阶自由波成分生成问题。
• 设计波浪发生器运动的二阶导引机制，以消除自由波成分，同时保留所需的束缚波成分。
• 通过系统的摄动方法，将首阶波浪生成理论系统性地扩展至包含二阶效应。
• 为实验室水槽实验中的实际应用提供传递函数。

提出的方法

• 通过小参数 ε 的幂级数展开求解完全非线性水波边值问题（BVP）。
• 将非线性 BVP 逐阶简化为线性 BVP：首阶为齐次问题，二阶为非齐次问题。
• 利用线性色散关系（LDR）关联传播模态与衰减模态的波数与频率。
• 将首阶表面波面表示为单色波的叠加，其振幅由波浪发生器运动决定。
• 推导二阶波面，其包含频率为 ωm±ωn 的束缚波成分，来源于首阶模态之间的相互作用。
• 通过调整波浪发生器运动以抵消二阶解中的自由波成分，实现二阶导引。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非线性 BVP 与级数展开方法，对翻板式波浪发生器的首阶波浪生成进行建模？
• RQ2 二阶束缚波生成的数学条件是什么？它们如何与自由波成分相互作用？
• RQ3 为何在水槽实验中二阶自由波成分的存在是不可取的？如何实现其抑制？
• RQ4 如何在二阶层面修改波浪发生器运动，以确保仅生成束缚波成分？
• RQ5 二阶传递函数的解析形式是什么？该函数描述了波浪发生器运动与表面波面之间的关系？

主要发现

• 首阶表面波面是单色波的线性叠加，每个波对应波浪发生器运动的一个谐波分量。
• 二阶表面波面由频率为 ωm+ωn 与 |ωm−ωn| 的束缚波成分组成，来源于首阶模态之间的非线性相互作用。
• 二阶解包含由于二次非线性项引起的非齐次 BVP，其源项由首阶解导出。
• 通过应用二阶导引，二阶表面波面中的自由波成分被消除，仅保留束缚波成分。
• 可显式推导出二阶传递函数，从而在实验室环境中实现波浪生成的精确控制。
• 该方法成功实现了束缚波生成与寄生自由波生成的解耦，提升了数值与实验水槽设置中波场的均匀性。