[论文解读] First eigenvalue of the $p$-Laplace operator along the Ricci flow

Jia-Yong Wu, Ermin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了在闭黎曼流形上的里奇流中，$p$-拉普拉斯算子的第一特征值的演化。在曲率假设下，证明了第一 $p$-特征值严格递增且几乎处处可微。对于具有负欧拉示性数的可定向闭曲面，即使在无曲率假设下也建立了可微性，并推导出一个 $p$-特征值比较定理。

ABSTRACT

In this paper, we mainly investigate continuity, monotonicity and differentiability for the first eigenvalue of the $p$-Laplace operator along the Ricci flow on closed manifolds. We show that the first $p$-eigenvalue is strictly increasing and differentiable almost everywhere along the Ricci flow under some curvature assumptions. In particular, for an orientable closed surface, we construct various monotonic quantities and prove that the first $p$-eigenvalue is differentiable almost everywhere along the Ricci flow without any curvature assumption, and therefore derive a $p$-eigenvalue comparison-type theorem when its Euler characteristic is negative.

研究动机与目标

• 分析在闭流形上的里奇流下，$p$-拉普拉斯算子的第一特征值的连续性、单调性与可微性。
• 建立第一 $p$-特征值严格递增且几乎处处可微的条件。
• 在无曲率假设下，为具有负欧拉示性数的可定向闭曲面建立 $p$-特征值比较型定理。
• 将已知的拉普拉斯算子（$p=2$）结果推广至非线性 $p$-拉普拉斯算子在几何流下的情形。
• 构造里奇流与 Yamabe 流中的单调量，以分析特征值的演化。

提出的方法

• 利用非归一化与归一化的里奇流方程，研究 $p$-拉普拉斯算子特征值的演化。
• 通过 $p$-拉普拉斯算子的 Rayleigh 商，应用第一 $p$-特征值的变分刻画。
• 利用特征函数与度量演化，推导出里奇流下第一 $p$-特征值的微分公式。
• 采用最大值原理技术，控制标量曲率并控制特征值的增长。
• 构造涉及 $\lambda_{1,p}(t)$、标量曲率界 $\rho_0$、$\sigma_0$ 以及与时间相关的缩放因子的单调量。
• 将先前针对 $p=2$ 的方法适配至非线性 $p$-拉普拉斯算子情形，将结果推广至 $p \neq 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率条件下，$p$-拉普拉斯算子的第一 $p$-特征值沿里奇流严格递增？
• RQ2 第一 $p$-特征值是否沿里奇流几乎处处可微？在何种几何假设下成立？
• RQ3 能否在无曲率假设下，为具有负欧拉示性数的闭曲面建立 $p$-特征值比较定理？
• RQ4 涉及 $\lambda_{1,p}(t)$ 与标量曲率界的单调量在里奇流与 Yamabe 流下如何演化？
• RQ5 第一 $p$-特征值沿里奇流的精确微分公式是什么？其与度量和曲率有何关系？

主要发现

• 在适当的曲率假设下，第一 $p$-特征值沿里奇流严格递增且几乎处处可微。
• 对于具有负欧拉示性数的可定向闭曲面，即使在无任何曲率假设下，第一 $p$-特征值也几乎处处可微。
• 基于可微性与单调性，为具有负欧拉示性数的闭曲面建立了 $p$-特征值比较型定理。
• 对于 $1 < p < n$，形式为 $\lambda_{1,p}(t) \cdot (1 - \rho_0 t)^{n/2} \cdot (1 - \sigma_0 t)^{(p-n)/2}$ 的单调量沿非归一化 Yamabe 流递增。
• 对于 $p \geq n$，量 $\lambda_{1,p}(t) \cdot (1 - \rho_0 t)^{p/2}$ 沿非归一化 Yamabe 流递增。
• 对于 $p \geq n$，量 $\lambda_{1,p}(t) \cdot (1 - \sigma_0 t)^{p/2}$ 沿非归一化 Yamabe 流递减；对于 $1 < p < n$，量 $\lambda_{1,p}(t) \cdot (1 - \sigma_0 t)^{(p-n)/2} \cdot (1 - \rho_0 t)^{n/2}$ 沿非归一化 Yamabe 流递减。