[论文解读] First extension groups of Verma modules and $R$-polynomials

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 8

一句话总结

该论文通过证明当最高权为正则时，Verma 模之间的一阶扩张群的维数与 Kazhdan-Lusztig R-多项式系数一致，从而解决了 Gabber-Joseph 关于 Verma 模之间一阶扩张群维数的猜想。作者利用平移函子和 Weyl 群作用，在 Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) 上构造了一个与余 Cartan 子代数同构的 W-模结构，并证明 dim Vₗ(x,y) 等于 (−1)^(ℓ(y)−ℓ(x)−1)R_{y,x}(q) 中 q 的系数，从而在正则情形下确认了该猜想，并通过平移函子将其推广至奇异权的情形。

ABSTRACT

We study the first extension groups between Verma modules. There was a conjecture which claims that the dimensions of the higher extension groups between Verma modules are the coefficients of $R$-polynomials defined by Kazhdan-Lusztig. This conjecture was known as the Gabber-Joseph conjecture (although Gebber and Joseph did not state.) However, Boe gives a counterexample to this conjecture. In this paper, we study how far are the dimensions of extension groups from the coefficients of $R$-polynomials.

研究动机与目标

• 为解决 Gabber-Joseph 猜想，该猜想认为 Verma 模之间一阶扩张群的维数等于 R-多项式的系数。
• 理解在奇异情形下该猜想的失效原因，并量化其与 R-多项式系数的偏离程度。
• 将 Mazorchuk 对 Ext¹(M(xλ), M(yλ)) 的公式推广至任意支配积分权，包括奇异权的情形。
• 为正则 λ 构造 Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) 上的 W-模结构，并证明其同构于 𝔥*。
• 通过归纳法和平移函子，建立 dim Vₗ(x,y) 关于 R-多项式的精确公式。

提出的方法

• 将 Vₗ(x,y) 定义为 Verma 模包含下，Ext¹(M(xλ), M(yλ)) → Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) 的限制映射的像。
• 证明当 λ 为正则时，Vₗ(w₀,e) 装备有同构于余 Cartan 子代数 𝔥* 的 W-模结构。
• 建立 Vₗ(xs,y) 的递推公式，根据 ys < y 或 ys > y 的情况，分别表示为 s(Vₗ(x,ys)) 或 Kvₛ + s(Vₗ(x,y))。
• 利用平移函子 Tₚ^λ 将奇异 λ 情形下的 Ext¹ 群与正则 λ 情形下的联系起来，证明其在 Vₗ(x,y) 上诱导出满射。
• 识别平移诱导映射的核为 s ∈ Sₗ（λ 的稳定子）时的 vₛ 张成的子空间。
• 通过关于 ℓ(x) 的反向归纳法证明关键结果，比较满足 w₀s' ≥ x 的反射 s' 的数量与 R-多项式次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于正则支配积分权 λ，Ext¹(M(xλ), M(yλ)) 的维数是否等于 (−1)^(ℓ(y)−ℓ(x)−1)R_{y,x}(q) 中 q 的系数？
• RQ2 当 λ 为奇异时，Ext¹(M(xλ), M(yλ)) 的结构如何变化？其与 R-多项式系数的偏离程度如何？
• RQ3 能否利用 Weyl 群在 Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) 上的作用，推导出 dim Vₗ(x,y) 的递推公式？
• RQ4 平移函子 Tₚ^λ 在 Ext¹ 空间上的核是什么？它如何影响正则与奇异情形之间的比较？
• RQ5 映射 Ext¹(M(xλ), M(yλ)) → Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) 是否为单射？若不是，其核是什么？

主要发现

• 对于正则支配积分权 λ，dim Vₗ(x,y) 等于 (−1)^(ℓ(y)−ℓ(x)−1)R_{y,x}(q) 中 q 的系数，从而在该情形下确认了 Gabber-Joseph 猜想。
• 空间 Vₗ(w₀,e) 装备有同构于余 Cartan 子代数 𝔥* 的 W-模结构，其基元素 vₛ 对应于单反射 s。
• 当 xs > x 且 ys < y 时，Vₗ(xs,y) = s(Vₗ(x,ys))；当 ys > y 时，Vₗ(xs,y) = Kvₛ + s(Vₗ(x,y))。
• 对于奇异 λ，平移函子 Tₚ^λ 诱导出 Vₗ₀(x,y) → Vₗ(x,y) 的满射，其核等于 s ∈ Sₗ 时的 vₛ 张成的子空间。
• 映射 Ext¹(M(xλ), M(yλ)) → Ext¹(M(w₀λ), M(λ)) 不是单射；当 x ≥ y 时，其核同构于 Hom(M(xλ), M(λ)/M(yλ))。
• 该结果通过关于 ℓ(x) 的反向归纳法证明，表明满足 w₀s' ≥ x 的 s' 的数量等于 r_{w₀,x}，这与 dim Vₗ(w₀,x) 一致。