[论文解读] First integrals of ordinary difference equations beyond Lagrangian methods

В. А. Дородницын, Е. И. Капцов+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 4被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种新颖的伴随方程方法，用于在无需拉格朗日形式化的情况下构造常微分差分方程的首次积分。通过将对称性、离散伴随方程的解与首次积分联系起来，该方法能够通过函数独立的首次积分进行代数约化，从而实现不变映射和常微分方程离散化（包括非线性和三阶方程）的精确求解。

ABSTRACT

A new method for finding first integrals of discrete equations is presented. It can be used for discrete equations which do not possess a variational (Lagrangian or Hamiltonian) formulation. The method is based on a newly established identity which links symmetries of the underlying discrete equations, solutions of the discrete adjoint equations and first integrals. The method is applied to invariant mappings and discretizations of a second order and a third order ODEs. In examples the set of independent first integrals makes it possible to find the general solution of the discrete equations. The method is compared to a direct method of constructing first integrals.

研究动机与目标

• 开发一种用于寻找不具有变分（拉格朗日或哈密顿）形式化的常微分差分方程首次积分的方法。
• 将先前用于微分方程的伴随方程方法扩展至离散系统，包括映射和格点上的差分格式。
• 证明可通过代数方法推导出函数独立的首次积分完整集，从而获得离散方程的通解。
• 表明当引入修正参数时，常微分方程的不变离散化可产生精确解，尤其适用于非线性和三阶方程。

提出的方法

• 该方法建立了一个新恒等式，将离散方程的李点对称性、其离散伴随方程的解与首次积分联系起来。
• 通过将伴随系统的解用作积分因子，应用离散伴随方程来构造首次积分。
• 对于标量映射，该方法专门适用于四点方程，利用对称性和伴随解来生成首次积分。
• 对于由常微分方程离散化产生的差分系统，该方法利用连续对称结构推导出不变格式及其首次积分。
• 该方法在不变映射和二阶与三阶常微分方程的离散化（包括施瓦茨方程和谐振子）上进行了验证。
• 该方法避免了坐标变换和积分运算，转而依赖于利用对称性和伴随解进行代数运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地为不具有拉格朗日形式化的常微分差分方程构造首次积分？
• RQ2 如何将伴随方程方法从微分方程适配至离散方程，特别是针对映射和差分格式？
• RQ3 不变离散化常微分方程能否产生精确解，其条件是什么？
• RQ4 对称性和伴随解在生成离散系统函数独立首次积分完整集的过程中起什么作用？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至微分-差分方程和偏差分方程？

主要发现

• 伴随方程方法成功地为离散方程构造了函数独立的首次积分完整集，使得通过代数运算即可获得通解。
• 对于不变的四点离散方程，该方法可得到两个独立的首次积分，从而可将通解以闭式表达。
• 当参数 M 被修正为 M_mod 时，该方法可为三阶施瓦茨方程的离散化提供精确解，且满足 M_mod → M 当 h → 0。
• 对于谐振子，当参数调整为 M_mod = −(2/h²) sinh²(√(−M/2) h) 时，不变离散化可产生精确解。
• 当 M = 0 时，施瓦茨方程的离散化无需参数修正即为精确解，与连续解一致。
• 该方法在对称性非变分的情况下依然有效，突破了诺特定理和拉格朗日方法的适用范围。