[论文解读] First order algorithms in variational image processing

Martin Burger, Alex Sawatzky+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2014

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用 4

一句话总结

该论文提出了一阶算法，特别是邻近交替方向乘子法（ADMM），用于求解涉及非光滑正则化（如总变差和ℓ₁-范数）的变分图像处理问题。主要贡献在于证明：在统计重建中通过全矩阵协方差结构建模sinogram之间的相关性，可显著提升光谱CT的图像质量，优于传统的滤波反投影法和对角相关性方法。

ABSTRACT

Variational methods in imaging are nowadays developing towards a quite universal and flexible tool, allowing for highly successful approaches on tasks like denoising, deblurring, inpainting, segmentation, super-resolution, disparity, and optical flow estimation. The overall structure of such approaches is of the form ${\cal D}(Ku) + α{\cal R} (u) ightarrow \min_u$ ; where the functional ${\cal D}$ is a data fidelity term also depending on some input data $f$ and measuring the deviation of $Ku$ from such and ${\cal R}$ is a regularization functional. Moreover $K$ is a (often linear) forward operator modeling the dependence of data on an underlying image, and $α$ is a positive regularization parameter. While ${\cal D}$ is often smooth and (strictly) convex, the current practice almost exclusively uses nonsmooth regularization functionals. The majority of successful techniques is using nonsmooth and convex functionals like the total variation and generalizations thereof or $\ell_1$-norms of coefficients arising from scalar products with some frame system. The efficient solution of such variational problems in imaging demands for appropriate algorithms. Taking into account the specific structure as a sum of two very different terms to be minimized, splitting algorithms are a quite canonical choice. Consequently this field has revived the interest in techniques like operator splittings or augmented Lagrangians. Here we shall provide an overview of methods currently developed and recent results as well as some computational studies providing a comparison of different methods and also illustrating their success in applications.

研究动机与目标

• 开发并分析用于非光滑正则化泛函的变分图像处理问题的一阶算法。
• 解决成像中出现的大规模凸优化问题（如去噪、去模糊和光谱CT重建）的高效求解挑战。
• 通过在数据保真项中引入协方差矩阵来建模全sinogram相关性，提升光谱CT中的图像重建质量。
• 在真实成像场景中，将邻近ADMM的性能与传统方法（如滤波反投影法和对角相关性方法）进行比较。

提出的方法

• 论文采用邻近算法，特别是邻近ADMM，求解形式为min_u {𝒟(Ku) + αℛ(u)} 的变分问题，其中正则化项ℛ为非光滑函数。
• 利用邻近算子处理总变差和ℓ₁-范数等非光滑项，实现高效的迭代最小化。
• 在数据保真项中引入一个全矩阵协方差矩阵Σ，以建模光谱CT中sinogram之间的相关性。
• 采用邻近ADMM框架联合重建物质图像，利用费舍尔信息矩阵计算Σ。
• 在使用六能段光子计数探测器模型的2D胸廓体素模拟光谱CT数据上验证该方法。
• 通过手动调节正则化参数，使不同方法的噪声方差保持一致，以实现公平比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 像邻近ADMM这样的的一阶算法能否有效求解具有非光滑正则化的大型变分图像处理问题？
• RQ2 通过全协方差矩阵Σ建模sinogram间相关性，对光谱CT图像重建质量有何影响？
• RQ3 与仅假设对角相关性的解耦重建相比，使用全Σ矩阵的联合重建是否表现更优？
• RQ4 在图像质量和噪声特性方面，基于邻近ADMM的方法与传统滤波反投影法相比表现如何？
• RQ5 在联合光谱CT重建中，使用与物质无关的总变差惩罚项有何影响？

主要发现

• 邻近ADMM算法通过利用全矩阵协方差Σ的sinogram间相关性，成功实现了图像质量的提升。
• 与滤波反投影法和对角相关性方法相比，使用全Σ矩阵的重建在图像质量上表现更优，尤其在K边图像中更为明显。
• 如图10和图11的视觉对比所示，采用全Σ的联合重建能更有效地降低噪声并保留精细结构。
• 当正则化参数经手动调节后，不同重建策略在感兴趣区域的噪声方差保持相当。
• 初步结果证实，协方差感知重建在模拟和实验光谱CT数据上均具有优势。
• 结果表明，与梯度下降法相比，邻近ADMM在X射线CT的PWLS问题中更具优势，具有更好的收敛性和稳定性。