[论文解读] First-order condensation transition in the position distribution of a run-and-tumble particle in one dimension

Francesco Mori, Giacomo Gradenigo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Diffusion and Search Dynamics参考文献 70被引用 42

一句话总结

本文研究了一维跑动-翻滚粒子（RTP）的位置分布，其速度服从高斯分布，运动时间服从指数分布。在 X ∼ N^{3/4} 处识别出一阶动力相变，此时单一的大幅位移（凝聚态）主导轨迹，表现为速率函数的导数不连续以及参与比率的跃迁，该结果通过精确分析与数值模拟得到验证。

ABSTRACT

We consider a single run-and-tumble particle (RTP) moving in one dimension. We assume that the velocity of the particle is drawn independently at each tumbling from a zero-mean Gaussian distribution and that the run times are exponentially distributed. We investigate the probability distribution $P(X,N)$ of the position $X$ of the particle after $N$ runs, with $N\gg 1$. We show that in the regime $ X \sim N^{3/4}$ the distribution $P(X,N)$ has a large deviation form with a rate function characterized by a discontinuous derivative at the critical value $X=X_c>0$. The same is true for $X=-X_c$ due to the symmetry of $P(X,N)$. We show that this singularity corresponds to a first-order condensation transition: for $X>X_c$ a single large jump dominates the RTP trajectory. We consider the participation ratio of the single-run displacements as the order parameter of the system, showing that this quantity is discontinuous at $X=X_c$. Our results are supported by numerical simulations performed with a constrained Markov chain Monte Carlo algorithm.

研究动机与目标

• 理解具有高斯速度和指数运动时间的一维 RTP 的位置分布 P(X, N) 的大偏离统计行为。
• 识别在无外场驱动（E = 0）条件下是否发生一阶动力相变，与先前 E > 0 的结果形成对比。
• 通过识别序参量并分析其在临界点的不连续性，表征相变的本质。
• 建立临界位置 Xc ∼ N^{3/4} 的标度关系，并确认凝聚态大小 Xcond 与总位移同标度，即 Xcond ∼ N^{3/4}。
• 通过精确计算与高精度数值模拟验证相变机制与速率函数。

提出的方法

• 利用累积量生成函数与鞍点近似，推导位置分布 P(X, N) 的大偏离形式。
• 应用随机系统中实空间凝聚的理论框架，识别速率函数 F(z) 的导数出现不连续的临界点 Xc。
• 将单次运动位移的参与比率定义为序参量，用于检测相变，表明其在 X = Xc 处发生跃迁。
• 使用受限马尔可夫链蒙特卡洛模拟方法采样罕见轨迹，验证分析预测。
• 计算凝聚态分布 pcond(x, N)，并证明其对 x 的积分为 1/N，从而确认凝聚态局域于单次运动。
• 将临界行为与涉及速率函数及其二阶导数的超越方程的解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有高斯速度和指数运动时间的一维 RTP 的位置分布 P(X, N) 的大偏离行为具有何种性质？
• RQ2 在无外场驱动（E = 0）条件下是否发生一阶动力相变？若发生，临界位置 Xc 的标度关系如何？
• RQ3 凝聚态——即轨迹中单一主导运动——如何在轨迹中出现？其大小如何随 N 标度？
• RQ4 是否存在一个在相变点表现出不连续性的序参量，从而标志一阶相变？
• RQ5 大偏离区域中速率函数 F(z) 的精确形式是什么？其在临界点的非解析性如何体现？

主要发现

• 对于 RTP 的位置分布 P(X, N)，在 X = ±Xc 处出现一阶动力相变，此时速率函数 F(z) 的导数不连续。
• 临界位置的标度关系为 Xc ∼ N^{3/4}，对应于速率函数 F(z) = N^{2α−1}F(X/N^α) 中的 α = 3/4。
• 当 |X| > Xc 时，大小为 Xcond ∼ N^{3/4} 的单次运动主导轨迹，形成实空间凝聚态，贡献了总位移的有限比例。
• 单次运动位移的参与比率作为序参量，在 X = Xc 处表现出跃迁不连续性，证实为一阶相变。
• 使用受限马尔可夫链蒙特卡洛算法进行的数值模拟验证了分析预测，包括凝聚态的局域化与速率函数的标度关系。
• 凝聚态分布 pcond(x, N) 对 x 的积分为 1/N，确认凝聚态局域于 N 次运动中的单次位移。