[论文解读] First order gravity: Actions, topological terms and boundaries

Alejandro Corichi, Iraís Rubalcava-García+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文使用四维中的四维标架和SO(3,1)连接变量，系统地分析了协变哈密顿框架下所有微分同胚不变项——标准项、拓扑项和边界项——的完整一阶引力形式。结果表明，尽管边界项和拓扑项不影响辛结构或哈密顿诺特定量，但它们确实影响诺特定量，从而澄清了引力作用原理和边界条件领域长期存在的模糊性。

ABSTRACT

We consider first order gravity in four dimensions. In particular, we consider formulations where the fundamental variables are a tetrad $e$ and a SO(3,1) connection $\omega$. We study the most general action principle compatible with diffeomorphism invariance. This implies, in particular, considering besides the standard Einstein-Hilbert-Palatini term, other terms that either do not change the equations of motion, or are topological in nature. Having a well defined action principle also implies adding additional boundary terms, whose detailed form may depend on the particular boundary conditions at hand. We consider spacetimes that include a boundary at infinity, satisfying asymptotically flat boundary conditions and/or an internal boundary satisfying isolated horizons boundary conditions. For our analysis we employ the covariant Hamiltonian formalism where the phase space $\Gamma$ is given by solutions to the equation of motion. For each of the possible terms contributing to the action we study the well posedness of the action, its finiteness, the contribution to the symplectic structure, and the Hamiltonian and Noether charges. We show that for the chosen boundary conditions, standard boundary terms warrant a well posed theory. Furthermore, we show that the boundary and topological terms do not contribute to the symplectic structure, nor the Hamiltonian conserved charges. The Noether conserved charges, on the other hand, do depend on such additional terms. The aim of the paper is to present a comprehensive and self-contained treatment of the subject, so the style is somewhat pedagogical. Furthermore, we point out and clarify some issues that have not been clearly understood in the literature.

研究动机与目标

• 提供四维中一阶引力作用量的自包含、全面处理，包括所有微分同胚不变项。
• 阐明边界项和拓扑项在作用原理中的作用，特别是针对渐近平坦和孤立视界边界条件。
• 利用协变哈密顿形式，确立在各种边界条件下作用量的适定性和有限性。
• 研究附加项如何影响解相空间中的辛结构、哈密顿诺特定量和诺特定量。
• 解决文献中关于拓扑项和边界项对引力中守恒量贡献的模糊性。

提出的方法

• 采用协变哈密顿形式，其中相空间Γ由运动方程的解构成，以分析作用量及其变分。
• 系统地包含作用量中所有可能的微分同胚不变项：标准爱因斯坦-希尔伯特-帕拉蒂尼项、拓扑项（如庞特里亚金类和欧拉类）以及边界项。
• 分析在渐近平坦时空条件和孤立视界边界条件下的作用量的有限性和适定性。
• 计算每项作用量的辛结构、哈密顿守恒诺特定量和诺特定量，以确定其物理贡献。
• 使用协变相空间方法计算守恒诺特定量，并验证其与微分同胚不变性和边界条件的一致性。
• 基于显式变分法，区分边界项和拓扑项对辛结构（无贡献）和诺特定量（有贡献）的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些项可以被加入一阶引力作用量中，而不改变运动方程或违反微分同胚不变性？
• RQ2 边界项如何影响在渐近平坦和孤立视界边界条件下的作用量的适定性和有限性？
• RQ3 拓扑项和边界项是否对一阶引力中相空间的辛结构有贡献？
• RQ4 这些附加项如何影响哈密顿诺特定量和诺特定量？
• RQ5 边界项在确保一阶引力中变分原理适定性方面的确切作用是什么？

主要发现

• 包含标准边界项（如渐近平坦性或孤立视界所要求的项）可确保作用量原理的适定性和有限性。
• 拓扑项（如庞特里亚金项和欧拉项）以及边界项不贡献于相空间的辛结构。
• 哈密顿守恒诺特定量不受边界项和拓扑项添加的影响。
• 然而，诺特定量确实依赖于边界项和拓扑项的存在，凸显了其对作用量整体结构的非平凡依赖。
• 该分析澄清了文献中长期存在的关于这些项在守恒量和作用量原理中作用的模糊性。
• 协变哈密顿形式提供了一致的框架，以分离不同项对物理可观测量的贡献。