[论文解读] First-order Logic: Modality and Intensionality

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文通过将性质、关系和命题（PRP）整合到论域中，以两步的意向性解释方式，对一阶逻辑（FOL）进行了最小的意向性扩充，从而在保持标准塔斯基语义的同时嵌入意向性。其关键贡献是一个可交换的同态图，将FOL语法与意向性概念及外延关系代数联系起来，表明塔斯基真值是更广泛弗雷格-罗素意向性语义的一个特例。

ABSTRACT

Contemporary use of the term 'intension' derives from the traditional logical Frege-Russell's doctrine that an idea (logic formula) has both an extension and an intension. From the Montague's point of view, the meaning of an idea can be considered as particular extensions in different possible worlds. In this paper we analyze the minimal intensional semantic enrichment of the syntax of the FOL language, by unification of different views: Tarskian extensional semantics of the FOL, modal interpretation of quantifiers, and a derivation of the Tarskian theory of truth from unified semantic theory based on a single meaning relation. We show that not all modal predicate logics are intensional, and that an equivalent modal Kripke's interpretation of logic quantifiers in FOL results in a particular pure extensional modal predicate logic (as is the standard Tarskian semantics of the FOL). This minimal intensional enrichment is obtained by adopting the theory of properties, relations and propositions (PRP) as the universe or domain of the FOL, composed by particulars and universals (or concepts), with the two-step interpretation of the FOL that eliminates the weak points of the Montague's intensional semantics. Differently from the Bealer's intensional FOL, we show that it is not necessary the introduction of the intensional abstraction in order to obtain the full intensional properties of the FOL. Final result of this paper is represented by the commutative homomorphic diagram that holds in each given possible world of this new intensional FOL, from the free algebra of the FOL syntax, toward its intensional algebra of concepts, and, successively, to the new extensional relational algebra (different from Cylindric algebras), and we show that it corresponds to the Tarski's interpretation of the standard extensional FOL in this possible world.

研究动机与目标

• 解决塔斯基语义在捕捉自然语言和智能信息系统中超越真值的语义方面的局限性。
• 澄清模态谓词逻辑与意向性逻辑之间的区别，表明并非所有模态逻辑都是意向性的。
• 在不改变标准语法且无需引入意向性抽象的情况下，实现FOL的最小语法扩充，以引入完整的意向性属性。
• 通过基于PRP理论的两步解释，将蒙塔古的可能世界语义与塔斯基真值理论统一起来。
• 建立一个正式框架，使意向性成为外延逻辑的推广而非替代，从而支持语义网和P2P数据库等应用。

提出的方法

• 采用两步意向性解释：首先将FOL语法映射到意向性概念（PRPs），然后通过外延化函数将这些概念映射到外延关系代数。
• 将FOL的论域定义为个别物和普遍物（PRPs）的集合，用概念论域（即性质、关系和命题）替代标准的集合论论域。
• 采用蒙塔古风格的意向性语义，其中公式的意向性是可能世界（在假设Γ下的塔斯基模型）到外延的函数。
• 构建意向性代数和一种新的外延关系代数（不同于柱形代数），以建模意向性FOL的逻辑结构。
• 建立一个可交换的同态图（定理3），将FOL语法的自由代数与意向性概念代数以及外延代数联系起来，确保在每个可能世界中与塔斯基语义的一致性。
• 证明：将量词作为模态算子的克里普克风格模态FOL是纯外延逻辑，等价于标准FOL，因此其本身并非意向性逻辑。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些模态谓词逻辑实际上是意向性的？它们与纯外延模态逻辑有何本质区别？
• RQ2 能否在不改变语法或引入意向性抽象的情况下，实现FOL的最小意向性扩充？
• RQ3 如何在基于弗雷格-罗素语义的统一意向性框架中，正式推广塔斯基真值语义？
• RQ4 可能世界作为在假设Γ下FOL的模型，在定义意向性意义中起什么作用？
• RQ5 从意向性FOL到标准FOL的转换是否可能？这对其意向性语义的逻辑强度意味着什么？

主要发现

• 并非所有模态谓词逻辑都是意向性的；只有那些具有恰当意向性解释的严格子集才表现出真正的意向性行为。
• 将量词作为模态算子的克里普克风格模态FOL等价于标准塔斯基FOL，因此是纯外延逻辑，而非意向性逻辑。
• 将模态FOL K转换为标准FOL时，由于可能世界对外延赋值的函数依赖性，结果产生二阶公式，使其在逻辑上更强。
• 通过采用PRP理论作为论域并使用两步解释，实现了FOL的最小意向性扩充，而无需引入意向性抽象。
• 新意向性FOL（FOL I）的全局逻辑推理关系与标准塔斯基推理关系完全相同，保持了逻辑强度。
• 在FOL语法的自由代数、意向性概念代数和外延关系代数之间建立了可交换同态图（推论3），表明塔斯基真值是更广泛意向性语义的一个派生的、世界特定的特例。