[论文解读] First-order logic with counting: at least, weak hanf normal forms always exist and can be computed!

Dietrich Kuske, Nicole Schweikardt|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Advanced Database Systems and Queries被引用 1

一句话总结

该论文提出 FOCN(P)，一种扩展了计数和数值谓词的命题逻辑，证明了在有界度 d 的有限结构上，该逻辑中的每个公式均可转换为等价的 Hanf 正则形式。该转换可在初等时间内完成，从而实现固定参数可满足性检查和常数延迟的高效动态查询评估。

ABSTRACT

We introduce the logic FOCN(P) which extends first-order logic by counting and by numerical predicates from a set P, and which can be viewed as a natural generalisation of various counting logics that have been studied in the literature.We obtain a locality result showing that every FOCN(P)-formula can be transformed into a formula in Hanf normal form that is equivalent on all finite structures of degree at most d. A formula is in Hanf normal form if it is a Boolean combination of formulas describing the neighbourhood around its tuple of free variables and arithmetic sentences with predicates from P over atomic statements describing the number of realisations of a type with a single centre. The transformation into Hanf normal form can be achieved in time elementary in d and the size of the input formula. From this locality result, we infer the following applications:(1) The Hanf-locality rank of first-order formulas of bounded quantifier alternation depth only grows polynomially with the formula size.(2) The model checking problem for the fragment FOC(P) of FOCN(P) on structures of bounded degree is fixed-parameter tractable (with elementary parameter dependence).(3) The query evaluation problem for fixed queries from FOC(P) over fully dynamic databases of degree at most d can be solved efficiently: there is a dynamic algorithm that can enumerate the tuples in the query result with constant delay, and that allows to compute the size of the query result and to test if a given tuple belongs to the query result within constant time after every database update.

研究动机与目标

• 将计数和来自集合 P 的数值谓词扩展至一阶逻辑，形成逻辑 FOCN(P)。
• 建立一个局部性结果，表明在度数至多为 d 的所有有限结构上，每个 FOCN(P)-公式均等价于一个 Hanf 正则形式。
• 证明该转换在 d 和输入公式大小方面为初等时间可计算。
• 推导出在有界度结构上进行高效模型检查和动态查询评估的算法。
• 表明有界量词交替深度公式的 Hanf 局部性等级随公式大小呈多项式增长。

提出的方法

• 将 FOCN(P) 定义为在一阶逻辑基础上扩展计数和来自给定集合 P 的数值谓词。
• 将 Hanf 正则形式定义为自由变量元组周围局部类型描述的布尔组合，以及原子计数语句上的算术句子。
• 证明在所有度数 ≤ d 的有限结构上，每个 FOCN(P)-公式在逻辑上等价于一个 Hanf 正则形式公式。
• 设计一种算法，以在 d 和输入公式大小的初等时间内计算 Hanf 正则形式。
• 利用 Hanf 正则形式，推导出 FOC(P) 在有界度结构上的固定参数可满足性模型检查算法。
• 构建一种动态查询评估算法，支持每次更新后的常数延迟枚举、大小计算和成员关系测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将 FOCN(P) 中的每个公式在有界度的有限结构上转换为等价的 Hanf 正则形式？
• RQ2 在度数 d 和公式大小方面，将公式转换为 Hanf 正则形式的计算复杂度是多少？
• RQ3 有界量词交替深度公式的 Hanf 局部性等级如何随公式大小变化？
• RQ4 在有界度结构上，FOC(P) 的模型检查是否具有固定参数可满足性，且参数依赖为初等时间？
• RQ5 对于固定 FOC(P) 查询，在有界度数据库上能否实现常数延迟的动态查询评估，且大小和成员关系查询为常数时间？

主要发现

• 在所有度数至多为 d 的有限结构上，每个 FOCN(P)-公式均等价于一个 Hanf 正则形式公式。
• 将公式转换为 Hanf 正则形式的计算时间在 d 和输入公式大小方面为初等时间。
• 具有有界量词交替深度的一阶公式，其 Hanf 局部性等级随公式大小呈多项式增长。
• 在有界度结构上，FOC(P) 片段的模型检查具有固定参数可满足性，且参数依赖为初等时间。
• 在有界度数据库上，对固定 FOC(P) 查询的动态查询评估支持常数延迟枚举，以及每次更新后的常数时间大小和成员关系查询。
• Hanf 正则形式的构造使在有界度结构上实现高效动态数据管理并具备强性能保证成为可能。