[论文解读] First-Order Methods for Large-Scale Market Equilibrium Computation

Yuan Gao, Christian Kroer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Bandit Algorithms Research被引用 4

一句话总结

本文提出了一类用于大规模市场均衡计算的一阶优化方法，适用于线性、拟线性及列昂蒂夫效用函数。通过将均衡问题重新表述为在多面体集上的光滑凸优化问题，该研究在弱强凸性和近似-PL条件的框架下，为投影梯度法与近端梯度法建立了线性收敛性；同时引入一种新型镜像下降变体，实现了比例响应动态的子线性最后迭代收敛。

ABSTRACT

Market equilibrium is a solution concept with many applications such as digital ad markets, fair division, and resource sharing. For many classes of utility functions, equilibria can be captured by convex programs. We develop simple first-order methods suitable for solving these convex programs for large-scale markets. We focus on three practically-relevant utility classes: linear, quasilinear, and Leontief utilities. Using structural properties of market equilibria under each utility class, we show that the corresponding convex programs can be reformulated as optimization of a structured smooth convex function over a polyhedral set, for which projected gradient achieves linear convergence. To do so, we utilize recent linear convergence results under weakened strong-convexity conditions, and further refine the relevant constants in existing convergence results. Then, we show that proximal gradient (a generalization of projected gradient) with a practical linesearch scheme achieves linear convergence under the Proximal-PL condition, a recently developed error bound condition for convex composite problems. For quasilinear utilities, we show that Mirror Descent applied to a new convex program achieves sublinear last-iterate convergence and yields a form of Proportional Response dynamics, an elegant, interpretable algorithm for computing market equilibria originally developed for linear utilities. Numerical experiments show that Proportional Response dynamics is highly efficient for computing approximate market equilibria, while projected gradient with linesearch can be much faster when higher-accuracy solutions are needed.

研究动机与目标

• 为解决数字广告市场和资源共享等应用中大规模市场均衡计算的挑战。
• 为三种关键效用类别（线性、拟线性、列昂蒂夫）所衍生的凸规划问题，开发高效的专用一阶优化方法。
• 通过改进常数和近期收敛理论，在弱强凸性条件下，为投影梯度法与近端梯度法建立线性收敛保证。
• 通过证明镜像下降在新构造的凸规划上的应用可恢复比例响应动态，建立优化算法与经济动态之间的联系。
• 在数值实验中评估这些方法的实际效率，比较不同精度需求下的准确率与速度。

提出的方法

• 将每类效用函数下的市场均衡问题重新表述为在多面体集上的光滑凸优化问题，从而可应用一阶方法。
• 采用带线搜索的投影梯度下降法，通过利用弱强凸性条件和改进的收敛常数，实现线性收敛。
• 在近似-PL条件下使用带线搜索的近端梯度法，确保在各类效用函数下复合凸问题的线性收敛。
• 为拟线性效用提出一种新型凸规划形式，对之应用镜像下降，实现子线性最后迭代收敛速率。
• 推导表明，所得镜像下降动态与比例响应动态一致，后者是最初为线性效用设计的可解释且优美的算法。
• 实现并比较在不同精度需求下，比例响应与带线搜索的投影梯度法的数值性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一阶方法下，对于线性、拟线性和列昂蒂夫效用函数，是否能实现大规模市场均衡问题的线性收敛？
• RQ2 弱强凸性条件与近似-PL条件如何影响这些市场均衡问题的收敛保证？
• RQ3 在新型凸规划上应用镜像下降，能否恢复拟线性效用下的比例响应动态？其收敛速率如何？
• RQ4 在计算速度与解精度之间，比例响应与带线搜索的投影梯度法之间存在怎样的实际权衡？
• RQ5 不同效用函数下市场均衡的结构特性，如何促进其高效重述为一阶优化问题？

主要发现

• 带线搜索的投影梯度法通过利用弱强凸性与改进的收敛常数，对三类效用函数均实现了线性收敛。
• 带线搜索的近端梯度法在近似-PL条件下实现了线性收敛，为复合凸问题提供了理论基础。
• 在为拟线性效用设计的新凸规划上应用镜像下降，实现了子线性最后迭代收敛速率，并恢复了比例响应动态。
• 数值实验表明，比例响应动态在计算近似市场均衡方面极为高效。
• 当需要更高精度解时，带线搜索的投影梯度法在速度上显著优于比例响应。
• 将市场均衡重述为在多面体集上的光滑凸规划，使得先进的一阶方法能够应用，并具备强收敛保证。