[论文解读] First-Order Model Checking on Generalisations of Pushdown Graphs

Alexander Kartzow|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Formal Methods in Verification被引用 8

一句话总结

本文证明了在两类下推图的推广形式上一阶（FO）模型检查的可判定性：二级折叠下推图与嵌套下推树。论文为二级折叠下推图提出了基于树自动机的表示方法，并利用一阶解释将嵌套下推树上的模型检查问题归约为折叠下推图上的问题，证明了其在双指数时间空间内的可判定性。主要贡献在于为高阶与嵌套下推结构中具有可判定逻辑片段的一阶模型检查提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

We study the first-order model checking problem on two generalisations of pushdown graphs. The first class is the class of nested pushdown trees. The other is the class of collapsible pushdown graphs. Our main results are the following. First-order logic with reachability is uniformly decidable on nested pushdown trees. Considering first-order logic without reachability, we prove decidability in doubly exponential alternating time with linearly many alternations. First-order logic with regular reachability predicates is uniformly decidable on level 2 collapsible pushdown graphs. Moreover, nested pushdown trees are first-order interpretable in collapsible pushdown graphs of level 2. This interpretation can be extended to an interpretation of the class of higher-order nested pushdown trees in the collapsible pushdown graph hierarchy. We prove that the second level of this new hierarchy of nested trees has decidable first-order model checking. Our decidability result for collapsible pushdown graph relies on the fact that level 2 collapsible pushdown graphs are uniform tree-automatic. Our last result concerns tree-automatic structures in general. We prove that first-order logic extended by Ramsey quantifiers is decidable on all tree-automatic structures.

研究动机与目标

• 解决在高阶与折叠下推图上，带可达性与拉姆齐量词的一阶逻辑的可判定性问题。
• 通过引入高阶嵌套下推树的新层次结构，将模型检查框架扩展至嵌套下推树。
• 通过一阶解释建立嵌套下推树、折叠下推图与高阶下推图之间的联系。
• 为二级折叠下推图及其扩展提供统一的可判定性结果，用于一阶模型检查。
• 通过拉姆齐量词，将可判定性结果从字自动结构推广至树自动结构。

提出的方法

• 为每个二级折叠下推图构建树自动机表示，以支持有效的模型检查。
• 通过将嵌套下推关系与高阶栈结合，定义高阶嵌套下推树的新层次结构。
• 使用一阶解释将高阶嵌套下推树嵌入至级别为 l+1 的折叠下推图中。
• 证明在一阶逻辑中扩展正则可达性谓词与拉姆齐量词后，在树自动结构上仍具有可判定性。
• 应用一种广义的模型论技术，基于与 Kuske 的合作成果，证明在树自动结构上具有可判定性。
• 使用博弈论与自动机论方法，分析在复杂栈操作存在时的可定义性与可表达性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一阶模型检查中，当扩展为包含正则可达性谓词与拉姆齐量词时，二级折叠下推图是否具有可判定性？
• RQ2 嵌套下推树的模型检查问题能否归约为折叠下推图的问题？其复杂度如何？
• RQ3 通过一阶解释，高阶下推图、折叠下推图与嵌套下推树的层次结构之间存在何种关系？
• RQ4 在树自动结构的背景下，添加拉姆齐量词是否会保持可判定性？
• RQ5 能否基于自动机论表示，为高阶与嵌套下推系统建立统一的模型检查框架？

主要发现

• 在一阶逻辑中扩展正则可达性谓词与拉姆齐量词后，二级折叠下推图上的一阶模型检查是可判定的。
• 嵌套下推树上的一阶模型检查的复杂度为双指数空间，与该类结构的上界一致。
• 每个级别为 l 的嵌套下推树均可通过一阶解释从级别为 l+1 的折叠下推图中定义。
• 级别为 l 的高阶嵌套下推树可一阶解释为级别为 l+1 的折叠下推图，从而建立结构层次关系。
• 在一阶逻辑中扩展拉姆齐量词后，在树自动结构上仍具有可判定性，推广了先前关于字自动结构的结果。
• 高阶嵌套下推树的类包含于级别为 l+1 的折叠下推图类中，因此继承其可判定性性质。