[论文解读] First passage times of Lévy processes over a one-sided moving boundary

Frank Aurzada, Tanja Kramm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文证明，对于在负跳变中具有正活动性的 Lévy 过程，当 $ \gamma < 1/2 $ 时，其在单边移动边界 $ f(t) = 1 \pm t^\gamma $ 上的首 hitting 时间的渐近行为类似于常数边界情形，且无需满足 Spitzer 条件。主要贡献在于在较弱的矩和路径正则性假设下，建立了生存概率的稳健渐近等价性，扩展了以往针对布朗运动和 Lévy 过程的结果。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the tail of the distribution of the first passage time of a Lévy process over a one-sided moving boundary. Our main result states that if the boundary behaves as $t^γ$ for large $t$ for some $γ&lt;1/2$ then the probability that the process stays below the boundary behaves asymptotically as in the case of a constant boundary. We do not have to assume Spitzer's condition in contrast to all previously known results. Both positive ($+t^γ$) and negative ($-t^γ$) boundaries are considered. These results extend the findings of Greenwood and Novikov (1986) and are also motivated by results in the case of Brownian motion, for which the above result was proved in Uchiyama (1980).

研究动机与目标

• 确定 Lévy 过程在单边移动边界上的首 hitting 时间的渐近行为。
• 将已知的布朗运动结果推广至一般 Lévy 过程，且无需假设 Spitzer 条件。
• 刻画形式为 $ t^\gamma $ 的移动边界的生存指数，特别是当 $ \gamma < 1/2 $ 时的情形。
• 证明在较弱的矩和路径正则性条件下，移动边界的持久指数与常数边界的持久指数一致。

提出的方法

• 利用波动理论和路径分解技术分析首 hitting 时间的分布。
• 通过迭代泛函 $ H^n_2 $ 的递归估计方法，控制边界穿越概率。
• 在 dyadic 区间上采用离散化与链式论证，控制过程在时间上的最大值。
• 通过更新理论和 ladder 高度过程，与常数边界的概率进行比较。
• 依赖于 Lévy 过程的矩估计和尾部界，特别是涉及 Lévy 测度和漂移项。
• 通过结合 $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1 + f(t)) $ 的界与常数边界情形下已知的 $ T^{-\delta + o(1)} $ 衰减，建立渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Lévy 过程在移动边界 $ f(t) = 1 \pm t^\gamma $ 上的首 hitting 时间仍保持与常数边界相同的渐近衰减速率？
• RQ2 能否在不假设 Spitzer 条件的情况下，刻画 Lévy 过程在移动边界上的生存指数？
• RQ3 负跳变的存在如何影响次线性增长边界上的持久行为？
• RQ4 Lévy 测度的尾部行为在决定边界穿越概率衰减速率中起什么作用？
• RQ5 能否在不依赖强矩或指数矩假设的前提下，为 $ \gamma < 1/2 $ 的情形建立移动边界与常数边界生存概率之间的渐近等价性？

主要发现

• 当 $ \gamma < 1/2 $ 时，若 Lévy 过程在负跳变中具有正活动性，且常数边界情形满足 $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1, \, 0 \leq t \leq T) = T^{-\delta + o(1)} $，则生存概率 $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1 - t^\gamma, \, 0 \leq t \leq T) $ 的衰减速率为 $ T^{-\delta + o(1)} $。
• 该结果无需满足 Spitzer 条件，因此推广了以往依赖于 $ \mathbb{P}(X(t) > 0) \to \rho \in (0,1) $ 的结果。
• 对于正边界 $ f(t) = 1 + t^\gamma $，在 Lévy 过程同时具有正负跳变的附加假设下，相同的衰减速率 $ T^{-\delta + o(1)} $ 依然成立。
• 证明方法避免了积分测试或 Cramér 型条件，转而依赖于路径估计和最大过程的迭代界。
• 关键技术步骤在于证明 $ \mathbb{P}(X(t) \leq 1 + (\ln T)^6, \, 1 \leq t \leq T) \leq T^{-\delta + o(1)} $，该不等式通过矩估计和尾部界建立。
• 除负跳变外，其他替代条件（如存在 $ T_0 \in (1, T^{o(1)}) $ 使得 $ \mathbb{P}(X(T_0) \leq - (\ln T)^5) \geq T^{o(1)} $）也足以成立，从而扩大了对谱正 Lévy 过程的适用范围。