[论文解读] First passage times of two-dimensional correlated diffusion processes: analytical and numerical methods

Laura Sacerdote, Massimiliano Tamborrino+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Diffusion and Search Dynamics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种数值方法，用于计算二维相关扩散过程中首次 hitting 时间的联合密度，将问题表述为一类第一类 Volterra-Fredholm 积分方程组。该方法对任意双变量过程均证明具有收敛性，并将其应用于双变量维纳过程，推导出显式解析表达式，纠正了文献中已知的错误。

ABSTRACT

Given a two-dimensional correlated diffusion process, we determine the joint density of the first passage times of the process to some constant boundaries. This quantity depends on the joint density of the first passage time of the first crossing component and of the position of the second crossing component before its crossing time. First we show that the these densities are solutions of a system of Volterra-Fredholm first kind integral equations. Then we propose a numerical algorithm to solve it and we describe how to use the algorithm to approximate the joint density of the first passage times. The convergence of the method is theoretically proved for any bivariate process. We also derive explicit expressions for these and other quantities of interest in the case of a bivariate Wiener process, correcting some previous misprints appearing in the literature. Finally we illustrate the application of the method through a set of examples.

研究动机与目标

• 确定二维相关扩散过程中首次 hitting 时间的联合密度。
• 刻画一个分量的首次 hitting 时间与另一分量在该时刻位置之间的依赖关系。
• 开发一种数值稳定的算法，用于求解所得的积分方程组。
• 纠正文献中关于双变量维纳过程情形下的已知排版错误。
• 为首次 hitting 时间密度提供显式解析表达式与数值近似。

提出的方法

• 将首次 hitting 时间的联合密度表述为第一类 Volterra-Fredholm 积分方程组的解。
• 基于首次穿越时间与此时第二分量位置的联合密度，推导出积分方程。
• 提出一种数值算法，用于求解该积分方程组。
• 理论上证明了该数值方法对任意双变量扩散过程均具有收敛性。
• 将该方法应用于双变量维纳过程，推导出显式表达式，纠正了文献中已知的错误。
• 通过数值例子说明该方法的精度与适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算一般二维相关扩散过程中首次 hitting 时间的联合密度？
• RQ2 控制首次 hitting 时间与第二分量在该时刻状态的联合分布的积分方程组是什么？
• RQ3 能否为一般双变量过程构建一种收敛的数值算法来求解该方程组？
• RQ4 双变量维纳过程情形下，首次 hitting 时间密度的正确解析表达式是什么？它们如何纠正先前的错误？
• RQ5 所提出的数值方法在实际数值例子中表现如何？

主要发现

• 首次 hitting 时间的联合密度受一类第一类 Volterra-Fredholm 积分方程组的控制。
• 开发了一种收敛的数值算法，并在理论上证明其对任意双变量扩散过程均收敛。
• 为双变量维纳过程推导出显式解析表达式，纠正了先前文献中的已知排版错误。
• 该方法能够对相关扩散过程的首次 hitting 时间联合密度实现高精度的数值逼近。
• 数值例子表明该方法在实际应用中具有高效性与可靠性。
• 该方法为分析二维扩散模型中的首次 hitting 时间提供了一个统一的框架。