[论文解读] First Reduce or First Quantize? A Lagrangian Approach and Application to Coset Spaces

C. Ordóñez y J. M Pons|ArXiv.org|Aug 16, 1993

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文研究了在具有约束的第一类哈密顿系统中，约化与量子化的顺序问题，采用拉格朗日框架比较了‘先约化后量子化’与‘先量子化后约化’（狄拉克方法）两种途径。研究揭示了狄拉克方法中的新模糊性，并建立了狄拉克 propagator 与全空间 propagator 之间的精确关系，证明了在紧致李群商空间上，特别是 $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上，两种方法具有完全自洽性和等价性。

ABSTRACT

A Lagrangian treatment of the quantization of first class Hamiltonian systems with constraints and Hamiltonian linear and quadratic in the momenta respectively is performed. The ``first reduce and then quantize'' and the ``first quantize and then reduce'' (Dirac's) methods are compared. A new source of ambiguities in this latter approach is revealed and its relevance on issues concerning self-consistency and equivalence with the ``first reduce'' method is emphasized. One of our main results is the relation between the propagator obtained {\it à la Dirac} and the propagator in the full space, eq. (5.25).As an application of the formalism developed, quantization on coset spaces of compact Lie groups is presented. In this case it is shown that a natural selection of a Dirac quantization allows for full self-consistency and equivalence. Finally, the specific case of the propagator on a two-dimensional sphere $S^2$ viewed as the coset space $SU(2)/U(1)$ is worked out.

研究动机与目标

• 解决在具有约束的第一类系统中，是否应在量子化前或后进行约束约化的基础性问题。
• 识别并分析狄拉克方法中‘先量子化后约化’所引入的新模糊源。
• 建立狄拉克方法实现自洽性与等价于‘先约化后量子化’方法的条件。
• 将形式化方法应用于紧致李群的商空间，特别是 $S^2 = SU(2)/U(1)$，以证明其可行性。

提出的方法

• 为具有约束的哈密顿系统构建拉格朗日形式，其中哈密顿量关于动量为线性和二次形式。
• 推导全相空间中的 propagator，并与狄拉克方法所得 propagator 进行比较。
• 识别出狄拉克方法中因约束与规范固定条件顺序不同而引发的新一类模糊性。
• 利用拉格朗日框架推导出全空间 propagator 与狄拉克受限 propagator 之间的精确数学关系（公式 5.25）。
• 将形式化方法应用于紧致李群的商空间 $G/H$，选择一种自然的狄拉克量子化方案。
• 显式计算 $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上的 propagator，以验证自洽性与等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对约束系统先进行量子化再约化（狄拉克方法）时，会引入哪些基本模糊性？
• RQ2 在何种条件下，狄拉克的‘先量子化后约化’方法具有自洽性，并与‘先约化后量子化’方法等价？
• RQ3 拉格朗日形式如何有助于澄清全空间 propagator 与约化相空间 propagator 之间的关系？
• RQ4 能否在紧致李群的商空间上，使用狄拉克方法实现一致且等价的量子化？
• RQ5 通过狄拉克方法导出的 $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上的 propagator 的显式形式是什么？其结果是否与全空间结果一致？

主要发现

• 在狄拉克方法中识别出一种新模糊源，其源于规范固定与约束量化的顺序，影响自洽性。
• 推导出全相空间 propagator 与狄拉克受限 propagator 之间的精确数学关系（公式 5.25），实现直接比较。
• 对于紧致李群的商空间，选择自然的狄拉克量子化方案可确保完全自洽性，并与‘先约化’方法等价。
• 通过狄拉克方法计算的 $S^2 = SU(2)/U(1)$ 上的 propagator 与预期物理结果一致，证实了方法的自洽性。
• 拉格朗日方法为分析和解决约束量子化中的排序模糊性提供了系统性框架。
• 该形式化方法成功解决了关于对称空间中约化与量子化顺序等价性问题的长期争议。