[论文解读] First vertices for generic Newton polygons, and $p$-cyclic coverings of the projective line

Régis Blache|ArXiv.org|Dec 10, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过特征和与L-函数计算了特征p下射影直线上的p-循环覆盖的通用Newton多边形的第一个顶点，并推导出显式的Hasse多项式。研究证明了在某些无穷多组亏格中不存在超奇异Jacobian，特别是当 $g = \frac{(p-1)(d_0-1)}{2}$ 且 $d_0 \in \{p^n-1, 2p^n-2\}$ 以及 $n(p-1) > 2$ 时，解决了关于Torelli流形与Newton层交集的开放问题。

ABSTRACT

In this paper we compute the first vertex of a generic Newton polygon in some special cases, and the corresponding Hasse polynomial. This allows us to show the nonexistence of $p$-cyclic coverings of the projective line in characteristic $p$ with supersingular jacobian for some (infinite families of) genera.

研究动机与目标

• 确定特征 $p$ 下射影直线上的 $p$-循环覆盖的通用Newton多边形的第一个顶点。
• 推导出显式的Hasse多项式，以表征Newton多边形何时达到其第一个顶点。
• 在特定无穷多组亏格中建立超奇异Jacobian不存在的结果。
• 将Artin-Schreier曲线的Newton多边形与L-函数的已知结果扩展至 $p \geq 3d$ 范围之外。

提出的方法

• 使用有限域上的加法特征相关的L-函数来研究Artin-Schreier曲线的Zeta函数。
• 应用Grothendieck的专门化定理，在参数空间的Zariski稠密开子集上定义通用Newton多边形（GNP）。
• 通过涉及 $p$-进赋值和 $p$-权的同余式的最小解计算GNP的第一个顶点。
• 引入Hasse多项式 $\mathcal{H}_{D,p}^1$，其非零性决定Newton多边形的第一个顶点。
• 采用 $p$-进分析与 $p$-可除群理论，将L-函数的Newton多边形与曲线的Jacobian联系起来。
• 应用 $p$-密度与 $p$-权条件对最小解进行分类，并验证第一个顶点存在性的条件(H)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些亏格 $g = \frac{(p-1)(d_0-1)}{2}$，其中 $d_0 \in \{p^n-1, 2p^n-2\}$ 且 $n(p-1) > 2$，特征 $p$ 下射影直线的 $p$-循环覆盖存在超奇异Jacobian？
• RQ2 当 $d_0 = p^n - 1$ 或 $d_0 = 2p^n - 2$ 时，$p$-循环覆盖的通用Newton多边形的第一个顶点是什么？
• RQ3 如何显式计算Hasse多项式 $\mathcal{H}_{D,p}^1$ 以检测Newton多边形的第一个顶点？
• RQ4 当多项式中的某个系数为零或非零时，与一般Artin-Schreier曲线相关的L-函数的Newton多边形是否恰好达到其第一个顶点？
• RQ5 在特征 $p$ 下，$p$-循环覆盖的Newton多边形的第一个斜率超过 $\frac{1}{n}$ 的条件是什么？

主要发现

• 当 $d_0 = p^n - 1$ 时，通用Newton多边形 $\mathrm{GNP}(D,p)$ 的第一个顶点为 $(n,1)$，Hasse多项式为 $\mathcal{H}_{D,p}^1 = a_{p^n - 1}$。
• 当 $d_0 = 2p^n - 2$ 时，第一个顶点为 $(2n,2)$，Hasse多项式为 $\mathcal{H}_{D,p}^1 = a_{p^n - 1} a_{2p^n - 3}^{p^n}$。
• 当 $n(p-1) > 2$ 且 $(n,p) \neq (1,3)$ 时，特征 $p$ 下射影直线的 $p$-循环覆盖不存在超奇异Jacobian，其亏格为 $g = \frac{(p-1)(2p^n - 3)}{2}$。
• 在特征 $p=2$ 时，若 $d = 2^{n+1} - 3$，则第一个顶点为 $(2n,2)$，当 $\alpha_{3 \cdot 2^{n-1} - 1} \neq 0$ 时成立；否则若 $\alpha_{2^n - 1} \neq 0$，则第一个顶点为 $(n,1)$。
• 当 $d_0 < p$ 时，第一个顶点为 $(\lceil \frac{p-1}{d_0} \rceil, \frac{1}{p-1} \lceil \frac{p-1}{d_0} \rceil)$，Hasse多项式为 $f^{\lceil (p-1)/d_0 \rceil}$ 中次数为 $p-1$ 的系数。
• 当 $p=3$ 且 $D = \{1 \leq i \leq 3^{n+1}-2, (3,i)=1\}$ 时，第一个顶点为 $(2n+1,1)$，Hasse多项式为 $\mathcal{H}_{D,3}^1 = a_{d_n} a_{d_0}^{3^n}$。