[论文解读] Fischer decomposition for spinor valued polynomials in several variables

Roman Lávička, Vladimı́r Souček|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文在稳定范围条件 $m \geq 2k$ 下，建立了 $\mathbb{R}^m$ 中 $k$ 个向量变量的旋量值多项式上的 Fischer 分解，证明了此类多项式空间可唯一分解为不变量（由 $r_{ij}^2$ 和 $\underline{x}_J$ 生成）与单正则多项式之张量积。该关键结果通过表示理论与 Howe 对偶性，将经典 Fischer 分解推广至多变量 Clifford 分析。

ABSTRACT

It is well-known that polynomials decompose into spherical harmonics. This result is called separation of variables or the Fischer decomposition. In the paper we prove the Fischer decomposition for spinor valued polynomials in $k$ vector variables of ${\mathbb R}^m$ under the stable range condition $m\geq 2k$. Here the role of spherical harmonics is played by monogenic polynomials, that is, polynomial solutions of the Dirac equation in $k$ vector variables.

研究动机与目标

• 将经典 Fischer 分解推广至 $\mathbb{R}^m$ 中 $k$ 个向量变量的旋量值多项式。
• 解决 Clifford 分析中长期存在的一个猜想，即在稳定范围 $m \geq 2k$ 下，此类多项式结构的问题。
• 建立空间 $\mathcal{P}((\mathbb{R}^m)^k) \otimes \mathbb{S}$ 作为不变量与单正则多项式之张量积的分解。
• 利用表示理论与 Howe 对偶性证明该分解，并分析 $\mathrm{Spin}(m) \times \mathfrak{gl}(k)$ 作用下的同构分量。

提出的方法

• 利用在稳定范围 $m \geq 2k$ 下，多变量标量值多项式的 Fischer 分解。
• 应用 Howe 对偶性理论，将 $\mathcal{P}((\mathbb{R}^m)^k) \otimes \mathbb{S}$ 在对偶对 $\mathrm{SO}(m) \times \mathfrak{sp}(2k)$ 下分解，且分解无重数。
• 利用 Dirac 算子 $\partial_{\underline{x}_j}$ 与向量变量 $\underline{x}_j$ 在旋量值多项式空间上的作用，作为 $\mathrm{Spin}(m)$-不变算子。
• 运用 $\mathrm{GL}(k)$-模的 Pieri 法则，将两个同构表示中不可约 $\mathrm{Spin}(m)$-模的重数相等。
• 通过投影至包含 $r_{ij}^2 = \sum_{i=1}^m x_{ij}x_{ij}$ 与乘积 $\underline{x}_J = \underline{x}_{j_1} \cdots \underline{x}_{j_r}$ 的分量，构造该分解。
• 建立 $\mathcal{H} \otimes \mathbb{S}$ 与 $\bigwedge(\underline{x}_1, \dots, \underline{x}_k) \otimes \mathcal{M}$ 作为 $\mathrm{Spin}(m) \times \mathfrak{gl}(k)$-模的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稳定范围 $m \geq 2k$ 下，$\mathbb{R}^m$ 中 $k$ 个向量变量的旋量值多项式是否满足 Fischer 分解？
• RQ2 在稳定范围内，旋量值多项式空间是否可分解为不变量与单正则多项式的张量积？
• RQ3 $\mathrm{Spin}(m)$ 的同构分量在多变量旋量值多项式空间上如何作用？
• RQ4 Howe 对偶性与 Pieri 法则在证明分解及匹配不可约表示重数中起什么作用？

主要发现

• 当 $m \geq 2k$ 时，旋量值多项式在 $k$ 个向量变量的 $\mathbb{R}^m$ 上满足 Fischer 分解，推广了经典的标量情形。
• 空间 $\mathcal{P}((\mathbb{R}^m)^k) \otimes \mathbb{S}$ 分解为 $\bigoplus_{J, \{n_{ij}\}} \left( \prod_{1 \leq i \leq j \leq k} r_{ij}^{2n_{ij}} \right) \underline{x}_J \mathcal{M}$，其中 $\mathcal{M}$ 为单正则多项式空间。
• 该分解无重数，且保持共形旋量群的作用，不变量由 $r_{ij}^2$ 与 $\underline{x}_J$ 生成。
• 旋量值多项式空间中 $\mathrm{Spin}(m)$ 的同构分量同构于 $\mathcal{M}^S_a \otimes V_{a + \frac{m}{2}1_k}$，其中 $V_{a + \frac{m}{2}1_k}$ 为 $\mathfrak{osp}(1|2k)$ 的广义 Verma 模。
• 证明依赖于通过 $\mathrm{GL}(k)$-模的 Pieri 法则，匹配两个表示中不可约 $\mathrm{Spin}(m)$-模的重数。
• $\mathcal{H} \otimes \mathbb{S} \simeq \bigwedge(\underline{x}_1, \dots, \underline{x}_k) \otimes \mathcal{M}$ 作为 $\mathrm{Spin}(m) \times \mathfrak{gl}(k)$-模成立，其中外代数与旋量空间上作用平凡。