[论文解读] Fishing out Winners from Vote Streams

Arnab Bhattacharyya, Palash Dey|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Game Theory and Voting Systems参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了用于在线选举中近似胜者判定的高效空间流算法，其中选票以任意顺序到达。它提出了随机化算法，可识别出一个 $\varepsilon$-胜者（即通过至多 $\varepsilon n$ 票的更改即可获胜的候选人），并使用亚线性空间，对多种投票规则（包括 plurality、$k$-approval 和 Copeland）实现了紧致的界限。

ABSTRACT

We investigate the problem of winner determination from computational social choice theory in the data stream model. Specifically, we consider the task of summarizing an arbitrarily ordered stream of $n$ votes on $m$ candidates into a small space data structure so as to be able to obtain the winner determined by popular voting rules. As we show, finding the exact winner requires storing essentially all the votes. So, we focus on the problem of finding an {\em $\eps$-winner}, a candidate who could win by a change of at most $\eps$ fraction of the votes. We show non-trivial upper and lower bounds on the space complexity of $\eps$-winner determination for several voting rules, including $k$-approval, $k$-veto, scoring rules, approval, maximin, Bucklin, Copeland, and plurality with run off.

研究动机与目标

• 解决大规模在线选举中选票以数据流形式到达且完整存储不可行时的胜者判定挑战。
• 放宽精确胜者问题，允许通过 $\varepsilon$-胜者进行近似，即在选票发生小幅变动时仍可能获胜的候选人。
• 分析在不同投票规则下，$(\varepsilon,\delta)$-胜者判定的流算法空间复杂度。
• 建立空间使用量的紧致上下界，表明近似可显著压缩相比精确胜者计算所需的空间。
• 将结果扩展至滑动窗口模型，其中仅考虑最近的 $N$ 个选票用于胜者判定。

提出的方法

• 将 $(\varepsilon,\delta)$-胜者判定问题形式化为具有有界错误概率的随机流处理任务。
• 使用随机化摘要和采样技术，以最小空间总结选票流，重点关注得票数和两两比较。
• 通过通信复杂性中的归约，将胜者判定问题转化为已知的流处理问题（如重载项和最大和问题）。
• 构造编码困难通信问题（如 Greater-than、Max-sum）实例的选票流，以推导下界。
• 设计针对特定投票规则（如批准投票、Borda、Copeland）的算法，利用其结构特性以最小化空间使用。
• 基于 $\varepsilon$、$\delta$、$m$（候选人数量）和 $n$（选票数量）分析空间复杂度，通过概率和组合论证推导界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为任意选票顺序的在线选举中的近似胜者判定设计高效空间的流算法？
• RQ2 在多种常见投票规则下，计算 $\varepsilon$-胜者的最优空间复杂度是多少？
• RQ3 对于不同投票规则，空间需求如何随 $\varepsilon$、$m$ 和 $n$ 变化？这些界限是否紧致？
• RQ4 能否高效支持滑动窗口模型，即仅考虑最近的 $N$ 个选票？
• RQ5 在不同投票规则下，$(\varepsilon,\delta)$-胜者判定的空间使用量的基本极限（下界）是什么？

主要发现

• 对于 plurality 和广义 plurality，空间复杂度为 $O(\min\{\frac{1}{\varepsilon}\log m, m\log\frac{1}{\varepsilon}\} + \log\log n)$，在对数因子内与下界匹配。
• 对于 $k$-approval 和 $k$-veto，空间复杂度为 $O(\min\{\frac{k}{\varepsilon}\log m, m\log\frac{\log(m-k+1)}{\varepsilon}\} + \log\log n)$，在特定参数范围内与下界匹配。
• 对于记分规则和批准投票，空间复杂度为 $O(m(\log\log m + \log\frac{1}{\varepsilon}) + \log\log n)$，在对数因子内为紧致界。
• 对于 maximin、Bucklin 和淘汰赛规则，空间复杂度为 $O(\min\{m^2(\log\log m + \log\frac{1}{\varepsilon}), \frac{1}{\varepsilon^2}m\log^2 m\} + \log\log n)$，在关键参数区间内与下界匹配。
• 对于 Copeland，空间复杂度为 $O(\min\{m^2(\log\log m + \log\frac{1}{\varepsilon}), \frac{1}{\varepsilon^2}m\log^4 m\} + \log\log n)$，反映了两两多数比较的更高复杂度。
• 对于 plurality 及相关规则，存在 $\Omega(\log\log n)$ 的下界，即使仅有两个候选人，表明对 $n$ 的对数依赖关系不可避免。