[论文解读] Fitted front tracking methods for two-phase incompressible Navier--Stokes flow: Eulerian and ALE finite element discretizations

Marco Agnese, Robert Nürnberg|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种基于欧拉（Eulerian）与任意拉格朗日-欧拉（Arbitrary Lagrangian--Eulerian, ALE）格式的拟合有限元方法，用于模拟两相不可压缩纳维-斯托克斯流，其中界面通过在与界面相匹配的网格上使用分段线性参数化有限元进行追踪。关键贡献在于，尽管欧拉格式在每个时间步后需要进行速度插值，但由于界面网格质量稳定且网格平滑效率高，其在精度和鲁棒性方面与ALE格式表现相当。

ABSTRACT

We investigate novel fitted finite element approximations for two-phase Navier--Stokes flow. In particular, we consider both Eulerian and Arbitrary Lagrangian--Eulerian (ALE) finite element formulations. The moving interface is approximated with the help of parametric piecewise linear finite element functions. The bulk mesh is fitted to the interface approximation, so that standard bulk finite element spaces can be used throughout. The meshes describing the discrete interface in general do not deteriorate in time, which means that in numerical simulations a smoothing or a remeshing of the interface mesh is not necessary. We present several numerical experiments, including convergence experiments and benchmark computations, for the introduced numerical methods, which demonstrate the accuracy and robustness of the proposed algorithms. We also compare the accuracy and efficiency of the Eulerian and ALE formulations.

研究动机与目标

• 开发并比较用于具有移动界面的两相不可压缩纳维-斯托克斯流的拟合有限元方法。
• 研究ALE格式在精度和效率方面是否显著优于标准欧拉格式。
• 在模拟过程中无需重划分网格或使用启发式调整，保持高质的界面和体网格。
• 在涉及强界面变形的基准问题上评估欧拉与ALE格式的性能。
• 证明界面网格质量与高效的网格平滑技术使欧拉格式在承受插值开销的情况下仍能与ALE格式性能相当。

提出的方法

• 使用分段线性参数化有限元表示移动界面，确保几何精度。
• 构建与离散界面相匹配的拟合体网格，使标准有限元空间在整个区域中保持一致。
• 采用基于线弹性力学的网格平滑方法，在界面移动后维持体网格质量。
• 对于欧拉格式，在每个时间步后将速度场从旧的体网格插值到新网格。
• 对于ALE格式，在移动域框架下求解纳维-斯托克斯方程，采用任意拉格朗日速度以改善网格质量。
• 对速度和压力采用一致的有限元格式，通过连续表面力方法引入表面张力。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉拟合有限元方法在两相纳维-斯托克斯流模拟中是否能达到与ALE方法相当的精度和鲁棒性？
• RQ2 欧拉方法是否能在无需重划分网格或界面平滑的情况下保持数值稳定性和精度，尽管需要进行速度插值？
• RQ3 在基准问题上，欧拉与ALE格式在计算成本和收敛行为方面如何比较？
• RQ4 界面网格质量在长时间模拟中对欧拉与ALE格式性能的影响程度如何？
• RQ5 所提方法是否能准确解析拓扑变化（如气泡颈缩）而无需启发式干预？

主要发现

• 欧拉格式 $({\rm \tilde{A}}^{h}_{\rm ex})$ 和 $({\rm \tilde{A}}^{h}_{\rm im})$ 在所有收敛性测试和基准测试中，其精度和鲁棒性与ALE格式 $({ \rm C}^{h}_{\rm ALE})$ 相当。
• 尽管每个时间步后需进行速度插值，欧拉格式未表现出精度显著下降，仅在非凸域上观察到轻微计算开销。
• 由于上升气泡的强烈形变，随时间累计的完整重划分次数较高（787–808次），但界面网格质量在整个模拟过程中保持稳定。
• 模拟未观察到液滴从气泡尾部脱落，与先前研究中最精确结果一致，表明拓扑行为可靠。
• 界面的球形度、上升速度、质心及相对内面积演化与公认基准结果高度一致，验证了方法的物理保真度。
• 在 $t=2.1$ 到 $t=2.3$ 之间相对内面积的振荡现象归因于气泡底部的细丝结构，凸显了该方法对几何特征的敏感性。