[论文解读] Fitting invariants in equivariant Iwasawa theory

Takenori Kataoka|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文提出了一种广义代数框架——'Fitting不变量的平移'——用于在非交换和双变量设定下计算Iwasawa模的Fitting理想，扩展了Greither与Kurihara在阿贝尔Iwasawa理论方面的工作。关键贡献是提出了他们主猜想的非交换与双变量版本，通过精确序列和投影维数控制，将Fitting理想与等变p进L函数联系起来。

ABSTRACT

The main conjectures in Iwasawa theory predict the relationship between the Iwasawa modules and the $p$-adic $L$-functions. Using a certain proved formulation of the main conjecture, Greither and Kurihara described explicitly the (initial) Fitting ideals of the Iwasawa modules for the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions of finite abelian extensions of totally real fields. In this paper, we generalize the algebraic theory behind their work by developing the theory of ``shifts of Fitting invariants.'' As applications to Iwasawa theory, we obtain a noncommutative version and a two-variable version of the work of Greither and Kurihara.

研究动机与目标

• 推广Greither与Kurihara在阿贝尔等变Iwasawa理论中计算Fitting理想的代数理论。
• 为非交换Iwasawa理论和双变量Iwasawa理论中的Fitting不变量计算建立一个框架。
• 在阿贝尔情形之外，建立Iwasawa模的Fitting理想与等变p进L函数之间的确切联系。
• 提供一种系统方法，通过投影维数控制和模的精确序列计算Fitting理想。

提出的方法

• 引入'Fitting不变量的平移'概念，以推广Fitting理想在模扩张和投影维数平移下的行为。
• 使用形如 $0 \to X_{\Sigma_0}(L) \to P_1 \to P_2 \to \mathbb{Z}_p \to 0$ 的精确序列，其中 $P_1, P_2$ 的投影维数 $\leq 1$，以控制Fitting不变量。
• 定义一类模 $\mathcal{C}$，其在 $R = \mathbb{Z}_p[[G]]$ 上具有有限投影维数，以及一类模 $\mathcal{P}$，其投影维数 $\leq 1$，以确保Fitting理想行为良好。
• 在 $K_0(\mathcal{P})$ 中构造不变量 $\Phi_{L/K,\Sigma_0} = [P_1] - [P_2]$，以编码模结构并将其与Fitting理想关联。
• 将理论应用于 $\Sigma$-分歧Iwasawa模 $X_{\Sigma_0}(L)$，并利用分歧素点处局部单位群 $\mathcal{U}_v(L)$ 的结构，计算分歧点的贡献。
• 证明 $\mathcal{F}(X_{\Sigma_0}(L)) = \mathcal{F}(\Phi_{L/K,\Sigma_0}) \cdot \mathcal{F}^{\langle 2\rangle}(\mathbb{Z}_p)$，推广了阿贝尔情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非交换等变Iwasawa理论中，如何系统地计算Iwasawa模的Fitting理想？
• RQ2 在阿贝尔情形之外，Fitting理想与等变p进L函数之间关系的代数结构是什么？
• RQ3 Iwasawa模的Fitting理想能否用来自投影维数受控的模的精确序列的'平移不变量'表示？
• RQ4 在双变量Iwasawa理论中，多个分歧素点的存在如何影响Fitting理想的计算？
• RQ5 在确保Fitting理想公式有效的前提下，$\mu$-不变量消失假设的精确作用是什么？

主要发现

• 本文建立了Greither与Kurihara主猜想的非交换版本，证明 $\mathcal{F}(X_{\Sigma_0}(L)) = \mathcal{F}(\Phi_{L/K,\Sigma_0}) \cdot \mathcal{F}^{\langle 2\rangle}(\mathbb{Z}_p)$，其中 $\Phi_{L/K,\Sigma_0}$ 是由投影分解导出的 $K_0$-类。
• 对于任意拟Fitting不变量 $\mathcal{F}$，平移后的Fitting不变量满足 $\mathcal{F}^{\langle n\rangle}(X_{\Sigma_0}(L)) = \mathcal{F}(\Phi_{L/K,\Sigma_0})^{(-1)^n} \cdot \mathcal{F}^{\langle n+2\rangle}(\mathbb{Z}_p)$，推广了Fitting理想在平移下的行为。
• 在分歧点处局部单位群 $\mathcal{U}_v(L)$ 的结构被证明通过 $\mathcal{F}^{\langle -1 \rangle}\left(\bigoplus_{v \in \Sigma_0 \setminus \Sigma_0'} \mathcal{U}_v(L)\right)$ 显式贡献于Fitting理想，其公式涉及范数元素与Frobenius算子。
• 证明了 $X_{\Sigma_0}(L)$ 在 $R = \mathbb{Z}_p[[G]]$ 上的投影维数至多为1，从而保证Fitting理想是可逆且可计算的。
• 通过构造涉及 $X_{\Sigma_0}(L)$ 和投影维数 $\leq 1$ 的模的精确序列，该理论可应用于双变量Iwasawa理论，实现在非阿贝尔设定下Fitting理想的计算。
• 该方法通过利用 $R \simeq \mathbb{Z}_p[[T]][\Delta]$ 的 $\mathbb{Z}_p[[T]]$-模结构，并分析 $\mathbb{Z}_p[\Delta]$ 上复形的余核 $B_\Delta$，成功推广了阿贝尔情形。