[论文解读] Fixed-Circle Problem on S-Metric Spaces with a Geometric Viewpoint

Nihal Yılmaz Özgür, Ni̇hal Taş|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文在 S-度量空间中引入并研究了固定圆问题，通过几何与压缩条件，建立了自映射固定圆的存在性与唯一性定理。主要贡献在于提出了一项新颖的固定圆定理（定理 3.6），该定理保证若自映射满足涉及 $ R_S(x,x_0) $ 与 $ \mathcal{S}(Tx,Tx,x_0) $ 的特定不等式，则圆 $ C_{x_0,r}^S $ 被固定，且通过实例表明此类映射亦可固定闭球及无穷多个圆。

ABSTRACT

Recently, a new geometric approach which is called the fixed-circle problem has been gained to fixed-point theory. The problem is introduced and studied using different techniques on metric spaces. In this paper, we consider the fixed-circle problem on $S$-metric spaces. We investigate existence and uniqueness conditions for fixed circles of self-mappings on an $S$-metric space. Some examples of self-mappings having fixed circles are also given.

研究动机与目标

• 通过在具有三元距离函数的度量空间推广形式下引入 S-度量空间中的固定圆问题，拓展不动点理论。
• 在 S-度量空间中，为自映射下固定圆的存在性与唯一性建立充分条件。
• 研究单个自映射可固定无穷多个圆的情形。
• 提供几何解释与示例，包括通过 Mathematica 的可视化，以说明理论结果。

提出的方法

• 在 S-度量空间中引入固定圆 $ C_{x_0,r}^S $ 的概念，定义为满足 $ \mathcal{S}(x,x,x_0) = r $ 的所有点 $ x $ 的集合。
• 定义关键函数 $ R_S(x,x_0) $ 为包含 $ x $、$ x_0 $ 与 $ Tx $ 的五项 S-度量项的最大值，用于界定 $ \mathcal{S}(x,x,Tx) $。
• 提出压缩条件：对所有满足 $ Tx \neq x $ 的 $ x $，有 $ \mathcal{S}(x,x,Tx) < R_S(x,x_0) $，以确保固定圆的存在。
• 在给定条件下，通过证明 $ T(C_{x_0,r}^S) \subset C_{x_0,r}^S $ 与 $ T(B_S[x_0,r]) \subset B_S[x_0,r] $，确立唯一性与不变性。
• 利用引理 2.1（$ \mathcal{S}(x,x,y) $ 的对称性）与引理 2.2（收敛性与柯西序列的等价性）导出矛盾，从而证明不动点的存在。
• 采用构造性方法，通过显式示例（如 $ \mathbb{R} $ 上分段定义的 $ T $）验证定理，并展示固定圆与闭球。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 S-度量空间中，自映射在何种条件下会固定整个圆而非仅一个点？
• RQ2 如何制定几何与压缩条件，以保证在 S-度量空间中存在固定圆？
• RQ3 单个自映射是否可固定多个圆？若可，其固定无穷多个圆的条件为何？
• RQ4 在所提出的定理下，S-度量空间中固定圆与固定闭球之间存在何种关系？
• RQ5 与现有不动点结果相比，新定理在一般性与对不连续或非压缩映射的适用性方面表现如何？

主要发现

• 定理 3.6 表明：若对所有满足 $ Tx \neq x $ 的 $ x $，有 $ \mathcal{S}(x,x,Tx) < R_S(x,x_0) $，且 $ \mathcal{S}(Tx,Tx,x_0) = r = \min\{\mathcal{S}(Tx,Tx,x) : Tx \neq x\} $，则 $ C_{x_0,r}^S $ 是 $ T $ 的固定圆。
• 例 3.11 中的自映射 $ T $ 固定了圆 $ C_{0,4}^S = \{x \in \mathbb{R} : |x| = 2\} $ 与闭球 $ B_S[0,4] = \{x \in \mathbb{R} : |x| \leq 2\} $，并满足定理 3.6 的所有条件。
• 例 3.11 表明，单个自映射可固定无穷多个圆，因为 $ T $ 固定了所有满足 $ \rho \leq 4 $ 的 $ C_{0,\rho}^S $，尽管仅 $ C_{0,4}^S $ 被定理 3.6 捕获。
• 条件 $ \mathcal{S}(Tx,Tx,x_0) = r $ 确保 $ T $ 将 $ C_{x_0,r}^S $ 上的点映射至同一圆，从而保持不变性。
• 例 3.12 表明，映射可固定多个圆（如所有满足 $ \rho \leq \mu $ 的 $ C_{x_0,\rho}^S $）而无需满足条件 (3.8)，证明了定理 3.6 的逆命题不成立。
• 本文证实，S-度量空间中的固定圆定理可推广不动点理论，并适用于不连续映射，如神经网络中的激活函数所示。