[论文解读] Fixed-Parameter Algorithms for Fair Hitting Set Problems

Tanmay Inamdar, Lawqueen Kanesh+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用 2

一句话总结

本文引入并研究了公平击集合问题（Fair Hitting Set），这是击集合问题的一个参数化推广，通过与预定义元素组的有界交集来施加公平性约束。研究证明了该问题在严格条件下（F中的集合互不相交，B中的集合大小为2）仍为NP难和W[1]-难，通过从彩虹匹配和多色独立集问题的约化，建立了紧致的复杂性界限，并揭示了尽管存在结构约束，该问题仍具有参数化不可解性。

ABSTRACT

Selection of a group of representatives satisfying certain fairness constraints, is a commonly occurring scenario. Motivated by this, we initiate a systematic algorithmic study of a \emph{fair} version of extsc{Hitting Set}. In the classical extsc{Hitting Set} problem, the input is a universe $\mathcal{U}$, a family $\mathcal{F}$ of subsets of $\mathcal{U}$, and a non-negative integer $k$. The goal is to determine whether there exists a subset $S \subseteq \mathcal{U}$ of size $k$ that \emph{hits} (i.e., intersects) every set in $\mathcal{F}$. Inspired by several recent works, we formulate a fair version of this problem, as follows. The input additionally contains a family $\mathcal{B}$ of subsets of $\mathcal{U}$, where each subset in $\mathcal{B}$ can be thought of as the group of elements of the same \emph{type}. We want to find a set $S \subseteq \mathcal{U}$ of size $k$ that (i) hits all sets of $\mathcal{F}$, and (ii) does not contain \emph{too many} elements of each type. We call this problem extsc{Fair Hitting Set}, and chart out its tractability boundary from both classical as well as multivariate perspective. Our results use a multitude of techniques from parameterized complexity including classical to advanced tools, such as, methods of representative sets for matroids, FO model checking, and a generalization of best known kernels for extsc{Hitting Set}.

研究动机与目标

• 正式化并系统研究经典击集合问题的一个公平变体，其中解必须尊重元素类型的公平性约束。
• 分析在输入族F和B的各种结构限制下，公平击集合问题的参数化复杂性。
• 通过识别问题保持NP难或W[1]-难的条件，确定公平击集合问题的可解性边界。
• 在统一框架下推广现有问题，如稀疏击集合问题和冲突自由击集合问题。
• 在指数时间假设（ETH）下，建立公平击集合问题时间复杂度的紧致下界。

提出的方法

• 将公平击集合形式化为一个决策问题，包含全集U、击集合族F、公平性集合族B、公平函数f和解大小k。
• 使用从k-多色独立集问题出发的保持参数的约化，证明当F互不相交且B具有任意交集时，问题为W[1]-难。
• 构建从路径上的精确彩虹匹配问题的约化，证明在F中集合两两不相交且每个元素至多出现在B的两个集合中的约束下，问题为NP难。
• 利用B中集合大小恰好为2、关联图是路径以及元素出现频率有界的结构约束，识别出最小的难解实例。
• 应用参数化复杂性中的高级工具，包括拟阵的代表性集合和FO模型检测，以分析内核化和可解性。
• 基于ETH的下界表明，公平击集合问题无法在时间2^o(t)内求解，其中t = max{|U|, |F|, |B|}。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种结构约束下，即使F中的集合两两不相交，公平击集合问题仍保持NP难？
• RQ2 当参数化为k时，即使在最小约束（如F互不相交且B中集合大小为2）下，公平击集合问题是否仍为W[1]-难？
• RQ3 公平击集合问题是否能在任何自然参数化下以FPT时间求解，还是存在固有的不可解性障碍？
• RQ4 公平击集合问题与现有公平感知问题（如稀疏击集合问题和冲突自由d-击集合问题）有何关联，如何对其进行推广？
• RQ5 在指数时间假设（ETH）下，公平击集合问题的运行时间的最紧可能下界是什么？

主要发现

• 即使F中的集合两两不相交、每个元素至多出现在B的两个集合中，且B中所有集合大小恰好为2，公平击集合问题仍为NP难。
• 当参数化为k时，即使在相同严格约束下（F互不相交且B中集合大小为2），问题仍为W[1]-难。
• 在ETH假设下，公平击集合问题无法在时间2^o(t)内求解，其中t = max{|U|, |F|, |B|}，从而建立了紧致的指数时间下界。
• 从k-多色独立集问题的约化表明，即使F中集合互不相交且B由任意大小的集合组成，公平击集合问题仍为W[1]-难，尽管构造中使用了大小为2的集合。
• 所构造实例的关联图GU,B为K2,2-自由且2-退化，表明即使图结构稀疏且具有特定结构，也无法带来可解性。
• 公平击集合问题统一推广了稀疏击集合问题和冲突自由d-击集合问题，为击集合问题中的公平性约束提供了一个统一框架。