[论文解读] Fixed-Parameter Algorithms in Analysis of Heuristics for Extracting Networks in Linear Programs

Gregory Gutin, Daniel Karapetyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文使用固定参数算法评估 SGA 启发式算法在线性规划中提取最大规模反射网络的性能，以验证解的质量。通过将大多数测试实例求解至最优，证实 SGA 能够产生高质量解，并识别出用于生成生成树的深度优先搜索（DFS）是 SGA 取得成功的关键因素，从而提出性能更优的 SGA80(DFS) 变体，在 54 个可解实例中实现了 50 个最优解。

ABSTRACT

We consider the problem of extracting a maximum-size reflected network in a linear program. This problem has been studied before and a state-of-the-art SGA heuristic with two variations have been proposed. In this paper we apply a new approach to evaluate the quality of SGA\@. In particular, we solve majority of the instances in the testbed to optimality using a new fixed-parameter algorithm, i.e., an algorithm whose runtime is polynomial in the input size but exponential in terms of an additional parameter associated with the given problem. This analysis allows us to conclude that the the existing SGA heuristic, in fact, produces solutions of a very high quality and often reaches the optimal objective values. However, SGA contain two components which leave some space for improvement: building of a spanning tree and searching for an independent set in a graph. In the hope of obtaining even better heuristic, we tried to replace both of these components with some equivalent algorithms. We tried to use a fixed-parameter algorithm instead of a greedy one for searching of an independent set. But even the exact solution of this subproblem improved the whole heuristic insignificantly. Hence, the crucial part of SGA is building of a spanning tree. We tried three different algorithms, and it appears that the Depth-First search is clearly superior to the other ones in building of the spanning tree for SGA. Thereby, by application of fixed-parameter algorithms, we managed to check that the existing SGA heuristic is of a high quality and selected the component which required an improvement. This allowed us to intensify the research in a proper direction which yielded a superior variation of SGA.

研究动机与目标

• 评估当前最先进的 SGA 启发式算法在提取线性规划中最大规模反射网络方面的性能。
• 确定 SGA 启发式算法是否能持续找到最优或近似最优解。
• 识别 SGA 中对解质量影响最大的组件，从而确定改进的优先方向。
• 评估用精确的固定参数算法替换启发式组件的影响。
• 通过聚焦最关键组件——生成树构建，开发出性能更优的 SGA 变体。

提出的方法

• 使用固定参数算法将 93 个测试实例中的 54 个最大嵌入反射网络（DMERN）问题求解至最优。
• 利用固定参数算法通过对比最优解来评估 SGA 启发式算法的解。
• 用基于固定参数顶点覆盖的精确算法替换 SGA 中的贪心独立集算法。
• 用三种替代方法替换 SGA 中的生成树构建方法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和随机搜索（RS）。
• 在测试集上评估改进后的 SGA 变体（SGA(DFS)、SGA3(DFS)、SGA80(DFS)、SGA(DFS)+VC）的性能。
• 利用独立集与顶点覆盖之间的互补性，实现独立集子问题的精确算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 SGA 启发式算法在最大反射网络提取问题上是否能产生接近最优的解？
• RQ2 SGA 启发式算法中——生成树构建或独立集搜索——哪个组件对解质量影响最大？
• RQ3 用精确的固定参数算法替换贪心独立集算法是否能显著提升 SGA 的性能？
• RQ4 在 SGA 中，使用深度优先搜索进行生成树构建是否优于广度优先搜索或随机搜索？
• RQ5 固定参数算法能否有效用于评估和指导组合优化中启发式方法的改进？

主要发现

• 固定参数算法在 93 个测试实例中将 54 个求解至最优，其中 52 个在 1 分钟内完成。
• SGA(DFS) 在 54 个可解实例中达到最优解 36 个，SGA3(DFS) 达到 44 个，SGA80(DFS) 达到 50 个，表明 DFS 的优越性。
• 将贪心独立集算法替换为基于顶点覆盖的精确固定参数算法仅在 4 个实例中改善了解，且因运行时间过高而不实用。
• SGA(DFS)+VC 在 6 个实例中 30 分钟内未能终止，而 SGA80(DFS) 保持高效且准确。
• SGA80(DFS) 变体在 54 个可行实例中实现了 50 个最优解，显著优于其他变体，且在远短于时间内接近精确算法的性能。
• 本研究证实，生成树构建方法是 SGA 性能的主导因素，且 DFS 是所测试方法中最有效的选择。