[论文解读] Fixed point properties for semigroups of nonlinear mappings and amenability

Anthony Lau, Yong Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 22被引用 10

一句话总结

本论文建立了巴拿赫空间中有界闭凸子集以及局部凸空间中紧凸子集上非线性映射半群的不动点性质，引入了L-嵌入集的概念，并证明了若左可逆半群在AP(S)或WAP(S)上具有不变均值，则其具有公共不动点。关键贡献在于通过几乎周期函数空间上左不变均值的存在性，对不动点性质进行了刻画，扩展了以往结果，且无需可分性假设。

ABSTRACT

In this paper we study fixed point properties for semitopological semigroup of nonexpansive mappings on a bounded closed convex subset of a Banach space. We also study a Schauder fixed point property for a semitopological semigroup of continuous mappings on a compact convex subset of a separated locally convex space. Such semigroups properly include the class of extremely left amenable semitopological semigroups, the free commutative semigroup on one generator and the bicyclic semigroup $S_1 = < a, b: ab = 1 >$.

研究动机与目标

• 研究巴拿赫空间与局部凸空间中有界或紧凸子集上半拓扑半群的非扩张与连续映射的不动点性质。
• 通过去除半群的可分性假设，特别是针对弱连续或分别连续表示的情形，扩展已知的不动点定理。
• 以几乎周期与弱几乎周期函数空间上左不变均值（LIMs）的存在性来刻画公共不动点的存在性。
• 澄清在非交换与非可逆半群中，通过LIMs实现的可乘性与不动点性质之间的关系。
• 解决关于Schauder不动点性质是否刻画拓扑群与半群特定可乘性性质的开放问题。

提出的方法

• 在巴拿赫空间中引入L-嵌入凸集的概念，推广正常结构与弱紧性，以用于不动点分析。
• 利用半拓扑半群在凸子集上的表示理论，重点研究在各种拓扑（范数、弱、弱*）下非扩张与仿射映射的情形。
• 通过轨道闭包论证与弱*紧性，建立AP(S)与WAP(S)上左不变均值（LIMs）与不动点性质之间的对应关系。
• 应用右轨道的点态闭包（co̅p{rₛf : s ∈ S}）概念，以常值函数包含性来刻画LIMs的存在性。
• 证明若半群S具有不动点性质（F*s），则AP(S)以及在可数性条件下WAP(S)均存在LIMs，从而将不动点行为与可乘性联系起来。
• 利用对偶性与延拓技术，将均值从S提升至S^e（单位化），表明S^e上的LIMs对应于S上的LIMs。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个左可逆半拓扑半群在巴拿赫空间的L-嵌入有界闭凸子集上非扩张作用时，是否具有公共不动点？
• RQ2 在无须可分性假设下，半群的不动点性质（F*s）是否可通过AP(S)或WAP(S)上左不变均值的存在性来刻画？
• RQ3 不动点性质（F*s）是否等价于左可逆性？非左可逆半群如S₂ = ⟨e,a,b,c: ab=ac=e⟩是否仍可满足（F*s）？
• RQ4 若在WAP(S)上存在左不变均值，是否能推出在弱紧凸集上弱分别连续、弱拟等度连续且Q-非扩张表示下具有Schauder不动点性质？
• RQ5 哪些拓扑群或半群的可乘性性质可被Schauder不动点性质完全刻画？

主要发现

• 若半群S是左可逆的，并在巴拿赫空间的L-嵌入有界闭凸子集C上非扩张作用，则S在C中具有公共不动点。
• 即使在无须可分性假设下，AP(S)上左不变均值（LIM）的存在性等价于半拓扑半群的不动点性质（F*s）。
• 对于具有可数左理想的半群，若WAP(S)上存在LIM，则其在弱紧凸集上弱分别连续、Q-非扩张表示下具有不动点性质（F*s）。
• 本文证明了不动点性质（F*s）蕴含AP(S)上LIM的存在性，且在可数左理想条件下，也蕴含WAP(S)上LIM的存在性，从而将不动点行为与可乘性联系起来。
• 作者建立了S与其单位化S^e之间均值的对偶性，表明AP(S^e)或WAP(S^e)上的LIMs分别对应于AP(S)或WAP(S)上的LIMs。
• 结果推广并去除了早期定理（包括[32, 定理3.8]）中的可分性假设，表明不动点性质（F*s）严格弱于左可逆性。