[论文解读] Fixed Point Theorems and applications in Theory of Games

Monica Patriche|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Economic theories and models参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文引入了弱*-凹和弱自然拟凹对应关系，证明了针对它们的不动点定理与连续选择定理。通过基于连续选择与约束对应关系的e-WNQS性质的技术，建立了在无需连续性假设下抽象经济中均衡存在性的新结果。

ABSTRACT

We introduce the notions of weakly *-concave and weakly naturally quasi-concave correspondence and prove fixed point theorems and continuous selection theorems for these kind of correspondences. As applications in the game theory, by using a tehnique based on a continuous selection, we establish new existence results for the equilibrium of the abstract economies. The constraint correspondences are weakly naturally quasi-concave. We show that the equilibrium exists without continuity assumptions.

研究动机与目标

• 在拓扑向量空间中引入并分析弱*-凹与弱自然拟凹对应关系。
• 为这些对应关系建立不动点定理与连续选择定理。
• 将这些结果应用于在弱于以往工作的假设下证明抽象经济中均衡的存在性。
• 在均衡存在性定理中消除对约束对应关系连续性的要求。
• 将现有的选择与不动点理论扩展至博弈论应用中的非凸与非紧设置。

提出的方法

• 使用向量值函数与 pointed 凸锥定义弱*-凹与弱自然拟凹对应关系。
• 为紧集上的对应关系引入 e-WNQS（epsilon-弱自然拟凹）性质。
• 利用 Michael 的选择定理与上半连续性，为扰动对应关系构造连续选择。
• 在紧凸集 $ X $ 上构造一个多值对应 $ T^V $，使用连续选择与闭包运算。
• 对 $ T^V $ 应用 Fan 的不动点定理，对每个 $ V \in \prod \ss_i $ 得到不动点 $ \overline{x}_V \in T^V(\overline{x}_V) $。
• 利用闭集 $ Q_V $ 的有限交性质，证明 $ \bigcap Q_V \neq \emptyset $，从而得到均衡点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非必然连续或非凸值的对应关系建立不动点定理？
• RQ2 在对应关系非连续且非凸值时，连续选择存在的条件是什么？
• RQ3 能否在不假设约束对应关系连续性的条件下证明抽象经济中的均衡存在性？
• RQ4 e-WNQS 性质在非紧或非凸设置中确保均衡存在的作用是什么？
• RQ5 如何将连续选择技术扩展以证明具有弱凹类约束的抽象经济中的均衡存在性？

主要发现

• 一类新的对应关系——弱自然拟凹与 e-WNQS——使得在无连续性假设下可建立不动点定理。
• 即使值集非凸或对应关系不连续，具有 e-WNQS 性质的对应关系也存在连续选择。
• 当约束对应关系满足 e-WNQS 性质时，抽象经济的均衡存在，且无需假设其连续性。
• 不动点 $ \overline{x}_V \in T^V(\overline{x}_V) $ 通过连续选择与 Fan 的不动点定理构造而成。
• 交集 $ \bigcap Q_V \neq \emptyset $ 确保存在一点 $ \overline{x} \in X $，使得 $ \overline{x}_i \in \overline{B}_i(\overline{x}) $ 且 $ (A_i \cap P_i)(\overline{x}) = \emptyset $，从而定义均衡。
• 该结果通过去除对约束对应关系连续性与凸性的假设，推广了以往的均衡存在性定理。