[论文解读] Fixed point theorems for Kannan type mappings with applications to split feasibility and variational inequality problems

Vasile Berinde, Mădălina Pačurar|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文引入了 enriched Kannan 和 enriched Bianchini 映射——Kannan 和非扩张映射的推广——允许在巴拿赫空间中对不连续的不动点压缩进行处理。证明了 Krasnoselskij 型迭代算法在逼近不动点时具有强收敛性，并将这些结果应用于具有唯一解和强收敛性的分裂可行性问题与变分不等式问题，改进了以往的弱收敛结果。

ABSTRACT

The aim of this paper in to introduce a large class of mappings, called {\it enriched Kannan mappings}, that includes all Kannan mappings and some nonexpansive mappings. We study the set of fixed points and prove a convergence theorem for Kransnoselskij iteration used to approximate fixed points of enriched Kannan mappings in Banach spaces. We then extend further these mappings to the class of enriched Bianchini mappings. Examples to illustrate the effectiveness of our results are also given. As applications of our main fixed point theorems, we present two Kransnoselskij projection type algorithms for solving split feasibility problems and variational inequality problems in the class of enriched Kannan mappings and enriched Bianchini mappings, respectively.

研究动机与目标

• 通过 Krasnoselskij 平均化方法，将 Kannan 和非扩张映射推广到更广泛的压缩映射类别。
• 在巴拿赫空间中，为 enriched Kannan 和 enriched Bianchini 映射建立 Krasnoselskij 迭代的强收敛定理。
• 开发新型投影型算法，确保分裂可行性与变分不等式问题的强收敛性。
• 证明这些新映射可产生唯一不动点，并优于现有弱收敛结果。

提出的方法

• 通过不等式 ||k(x−y)+Tx−Ty|| ≤ a[||x−Tx|| + ||y−Ty||] 定义 (k,a)-enriched Kannan 映射，其中 a∈[0,1/2) 且 k∈[0,∞)。
• 证明任意 (k,a)-enriched Kannan 映射在巴拿赫空间中具有唯一不动点，且对任意 λ∈(0,1]，Krasnoselskij 迭代 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n 强收敛于该不动点。
• 将该类映射扩展至 (k,a)-enriched Bianchini 映射，其定义基于具有更一般压缩结构的类似不等式。
• 利用这些映射构造 Krasnoselskij 投影型算法，用于求解分裂可行性与变分不等式问题。
• 应用收敛定理，证明在相关算子为 enriched Kannan 或 enriched Bianchini 映射的假设下，算法具有强收敛性。
• 使用投影算子 P_C 和 CQ 算法框架，但将非扩张映射替换为 enriched Kannan/Bianchini 映射，以确保解的唯一性与强收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kannan 型压缩能否被推广以包含非扩张和不连续映射，同时保持不动点收敛性？
• RQ2 在巴拿赫空间中，Krasnoselskij 迭代对 enriched Kannan 映射是否具有强收敛性？
• RQ3 enriched Kannan 映射能否用于确保分裂可行性问题的强收敛性，从而取代以往研究中的弱收敛结果？
• RQ4 enriched Bianchini 映射是否在变分不等式问题中产生唯一解并实现强收敛？
• RQ5 Krasnoselskij 算法能否被调整以使用不连续映射，求解分裂可行性与变分不等式问题，并实现强收敛？

主要发现

• 任意 (k,a)-enriched Kannan 映射在巴拿赫空间中具有唯一不动点，且对任意初始点，Krasnoselskij 迭代 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n 强收敛于该不动点。
• 当 λ∈(0,1] 时，Krasnoselskij 迭代 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n 线性收敛于不动点，且满足误差界 ||x_{n+i−1}−p|| ≤ δ^{n}||x_0−p||，其中 δ∈(0,1)。
• 当算子 T = P_C(I−γA*(I−P_Q)A) 为 (k,a)-enriched Kannan 映射时，分裂可行性问题（SFP）具有唯一解，且对任意 x_0∈C，算法 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n 强收敛于该解。
• 对于变分不等式问题，若 T = P_C(I−γG) 为 (k,a)-enriched Bianchini 映射，则 Krasnoselskij 算法 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n 对任意 x_0∈C 强收敛于唯一解。
• 本研究结果优于以往工作，通过用 enriched Kannan/Bianchini 映射替代非扩张映射，既保证了解的唯一性，又实现了强收敛性，而以往方法仅能保证弱收敛性。
• 实例表明，该类映射包含不连续映射（例如，[0,1] 上的 T(x)=1−x），这些映射既非 Kannan 也非非扩张，但属于 enriched Kannan 映射，证明了该类映射的广泛性。