[论文解读] Fixed point theorems for Meir-Keeler type contractions in metric spaces

Mortaza Abtahi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文提出一个新引理，以简化在完备度量空间中验证 Meir-Keeler 型压缩映射的 Picard 迭代序列为柯西序列的过程。通过应用该准则，作者为若干不动点定理（包括 Proinov 和 Suzuki 的结果）提供了简洁统一的证明，同时建立了 Meir-Keeler 型渐近压缩的新结果。

ABSTRACT

We establish a simple and powerful lemma that provides a criterion for sequences in metric spaces to be Cauchy. Using the lemma, it is then easily verified that the Picard iterates $\{T^nx\}$, where $T$ is a contraction or asymptotic contraction of Meir-Keeler type, are Cauchy sequences. As an application, new and simple proofs for several known results on the existence of a fixed point for continuous and asymptotically regular self-maps of complete metric spaces satisfying a contractive condition of Meir-Keeler type are derived. These results include the remarkable fixed point theorem of Proinov in [Petko D. Proinov, Fixed point theorems in metric spaces, Nonlinear Anal. extbf{46} (2006) 546--557], the fixed point theorem of Suzuki for asymptotic contractions in [Tomonari Suzuki, A definitive result on asymptotic contractions, J. Math. Anal. Appl. extbf{335} (2007) 707--715], and others. We also prove some new fixed point theorems.

研究动机与目标

• 建立度量空间中序列为柯西序列的一般性判别准则，以简化不动点分析。
• 统一并简化完备度量空间中 Meir-Keeler 型压缩映射的不动点定理的现有证明。
• 将不动点结果的适用范围扩展至 Meir-Keeler 型渐近压缩。
• 证明连续、渐近正则自映射在满足广义压缩条件时的新的不动点定理。
• 证明最终的渐近压缩定义（Suzuki 的定义）与在完备性条件下更广泛的渐近 m-压缩类等价。

提出的方法

• 提出一个新引理，提供一种充分条件，即通过满足特定不等式的函数 m(x,y) 来判断序列是否为柯西序列。
• 应用该引理，证明当 T 为 Meir-Keeler 或渐近 Meir-Keeler 压缩映射时，Picard 迭代序列 {T^n x} 为柯西序列。
• 利用该引理，推导出已知不动点定理的简单、统一证明，包括 Proinov 和 Suzuki 的结果。
• 通过将 Meir-Keeler 条件推广至满足条件 (2.3) 的函数 m(x,y)，定义渐近 m-压缩。
• 证明若 m 满足 (2.3) 且 T 为渐近 m-压缩映射，则 {T^n x} 为柯西序列。
• 证明任何满足 (2.3) 的渐近 m-压缩映射均为最终类型的渐近压缩（即 Suzuki 的定义），从而统一理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖直接 ε-δ 估计的情况下，发展一种通用判别准则，以验证度量空间中 Picard 迭代序列是否为柯西序列？
• RQ2 能否通过统一的分析工具，更简洁地推导出 Meir-Keeler 型压缩映射的已知不动点定理？
• RQ3 渐近 m-压缩类与 Suzuki 的最终渐近压缩定义之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，满足 (2.3) 的渐近 m-压缩映射能确保 Picard 迭代序列收敛？
• RQ5 能否通过将 Meir-Keeler 条件推广至更一般的函数 m(x,y)，建立新的不动点定理？

主要发现

• 所提出的引理为序列成为柯西序列提供了一个充分条件，该条件基于满足特定类似一致连续不等式的函数 m(x,y)。
• 该引理使得对 Meir-Keeler 型压缩映射的 Picard 迭代序列 {T^n x} 是否为柯西序列的直接且简洁的验证成为可能。
• 利用同一引理，推导出 Proinov 不动点定理和 Suzuki 的渐近压缩结果的全新简洁证明。
• 本文证明了：若对所有 x ∈ X，m 满足条件 (2.3)，则任何渐近 m-压缩映射均为 Suzuki 定义的最终类型渐近压缩。
• 对于满足广义 Meir-Keeler 条件的连续、渐近正则自映射，其 Picard 迭代序列 {T^n x} 收敛于唯一不动点。
• 该理论统一并推广了先前结果，表明在完备性条件下，最终渐近压缩的定义与更广泛的渐近 m-压缩类等价。