[论文解读] Fixed point theorems for nonconvex valued correspondences and applications in game theory

Monica Patriche|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文引入了非凸、非连续对应关系的新类别——弱自然拟凸、*-弱自然拟凸、弱双凸，以及具有 *–弱凸图的对应关系，并建立了针对它们的不动点定理。通过采用 W. K. Kim 的准点定理的一个版本以及连续选择技术，本文在放松的凸性和连续性假设下，证明了广义拟博弈中均衡的存在性，将均衡存在性结果推广至更广泛的博弈论模型。

ABSTRACT

In this paper, we introduce several types of correspondences: weakly naturally quasiconvex, *-weakly naturally quasiconvex, weakly biconvex and correspondences with *--weakly convex graph and we prove some fixed point theorems for these kinds of correspondences. As a consequence, using a version of W. K. Kim's quasi-point theorem, we obtain the existence of equilibria for a quasi-game.

研究动机与目标

• 将不动点理论扩展至既不连续也不取凸值的对应关系，以解决不动点理论中长期存在的开放问题。
• 引入并分析新的对应关系类别——弱自然拟凸、*-弱自然拟凸、弱双凸，以及具有 *–弱凸图的对应关系，提供比以往结果更灵活的条件。
• 将这些不动点定理应用于证明广义拟博弈中均衡的存在性，尤其适用于具有无限参与者、非凸策略集和非连续偏好的情形。
• 通过弱化约束和偏好对应关系的标准凸性和连续性假设，推广现有的博弈论均衡存在性定理。

提出的方法

• 引入四类新型对应关系：弱自然拟凸、*-弱自然拟凸、弱双凸，以及具有 *–弱凸图的对应关系，每类均放松了经典凸性或连续性条件。
• 利用拓扑与集合论工具（包括图的闭包性质和上半连续性）证明这些对应关系的不动点定理。
• 应用 W. K. Kim 的准点定理的一个版本，推导广义拟博弈中的均衡存在性。
• 采用 Yannelis 与 Prahbakar（1995）提出的连续选择技术，为具有 *–弱凸图和弱自然拟凸结构的对应关系构造选择。
• 定义广义拟博弈模型，其中约束对应关系 $ B_i $ 非空且取凸值，满足 $ A_i \subset B_i $，且 $ \text{cl } B_i $ 上半连续。
• 通过反证法，结合选择与闭包性质，证明对每个参与者 $ i $，有 $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*,y^*) $ 且 $ A_i(x^*,y^*) \cap P_i(x^*,y^*) = \emptyset $，从而确立均衡条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在更弱的结构假设下，能否为既不连续也不取凸值的对应关系建立不动点定理？
• RQ2 新引入的对应关系类别——弱自然拟凸、*-弱自然拟凸、弱双凸，以及具有 *–弱凸图的对应关系，是否足以在无需完整凸性或连续性的情况下保证不动点的存在？
• RQ3 这些不动点结果能否应用于证明具有非凸策略集和非连续偏好的广义拟博弈中均衡的存在性？
• RQ4 对于具有 *–弱凸图和弱自然拟凸结构的对应关系，连续选择技术在均衡模型中是否有效？
• RQ5 在不可数参与者集合的广义拟博弈中，均衡条件 $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*,y^*) $ 且 $ A_i(x^*,y^*) \cap P_i(x^*,y^*) = \emptyset $ 在何种条件下成立？

主要发现

• 针对具有 *–弱凸图的对应关系，建立了不动点定理，证明了在放松图结构条件下的不动点存在性。
• 本文证明了在弱自然拟凸和开集假设下，广义拟博弈 $ \Gamma $ 存在均衡点 $ (x^*, y^*) \in X \times X $，满足 $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*, y^*) $ 且 $ A_i(x^*, y^*) \cap P_i(x^*, y^*) = \emptyset $。
• 当 $ A_i \cap P_i $ 为弱双凸，且 $ W_i $ 为双凸包的内部时，通过连续选择与不动点论证，可保证均衡的存在性。
• 证明表明，若 $ x_i^* \in \Phi_i(x^*, y^*) $，则与假设 $ x_i \notin P_i(x,y) $ 矛盾，故 $ \Phi_i(x^*, y^*) = \emptyset $，即 $ (x^*, y^*) \notin W_i $，从而确保均衡条件成立。
• 结果通过去除对完整凸性或连续性的需求，推广了以往的均衡存在性定理，允许偏好和约束对应关系为非凸和非连续。
• 该框架支持不可数参与者集合 $ I $，其中 $ X_i $ 为豪斯多夫局部凸空间中的紧凸集，从而将适用范围扩展至无穷维及大规模博弈模型。