[论文解读] Fixed point theory and semidefinite programming for computable performance analysis of block-sparsity recovery

Gongguo Tang, Arye Nehorai|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 8

一句话总结

本文提出了一种不动点理论与半定规划框架，用于计算块稀疏信号恢复的可计算性能界。它定义了感知矩阵的优良度度量，以界定向重建误差，并证明了在测量次数足够多时，这些度量对随机矩阵是非退化的，同时提供了全局收敛的算法以高效计算这些界。

ABSTRACT

In this paper, we employ fixed point theory and semidefinite programming to compute the performance bounds on convex block-sparsity recovery algorithms. As a prerequisite for optimal sensing matrix design, a computable performance bound would open doors for wide applications in sensor arrays, radar, DNA microarrays, and many other areas where block-sparsity arises naturally. We define a family of goodness measures for arbitrary sensing matrices as the optimal values of certain optimization problems. The reconstruction errors of convex recovery algorithms are bounded in terms of these goodness measures. We demonstrate that as long as the number of measurements is relatively large, these goodness measures are bounded away from zero for a large class of random sensing matrices, a result parallel to the probabilistic analysis of the block restricted isometry property. As the primary contribution of this work, we associate the goodness measures with the fixed points of functions defined by a series of semidefinite programs. This relation with fixed point theory yields efficient algorithms with global convergence guarantees to compute the goodness measures.

研究动机与目标

• 解决非随机感知矩阵在块稀疏恢复中缺乏可计算性能分析的问题，从而限制感知系统的设计与预分析。
• 克服对任意感知矩阵验证块受限等距性质（RIP）的计算不可行性。
• 提出一族可计算的优良度度量，以界定向凸块稀疏算法中块-$\ell_\infty$ 范数的恢复误差。
• 实现对雷达、传感器阵列和DNA微阵列等应用的性能预测与最优感知矩阵设计。
• 提供一种全局收敛算法，以计算任意给定感知矩阵下这些优良度度量的下界。

提出的方法

• 将一族优良度度量定义为涉及半定规划的结构化优化问题的最优值。
• 将这些度量的计算表述为不动点迭代框架，其中每一步迭代求解一系列半定规划。
• 证明不动点迭代可从任意初始点全局收敛至优良度度量的最优值，利用其凹性与连续性性质。
• 建立通过半定规划定义的函数的不动点与优良度度量下界之间的联系。
• 利用不动点框架验证通过块-$\ell_1$ 最小化实现精确块稀疏恢复的充分条件。
• 分析当测量次数相对较多时，子高斯与各向同性随机感知矩阵的优良度度量的非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为任意非随机感知矩阵的块稀疏信号恢复定义可计算的性能界？
• RQ2 如何结合不动点理论与半定规划，以全局收敛保证高效计算这些性能界？
• RQ3 对于测量次数相对较多的随机感知矩阵，优良度度量的行为如何？
• RQ4 所提出的框架能否验证通过凸优化实现精确块稀疏恢复的充分条件？
• RQ5 与现有的基于块RIP的误差界相比，所提出的界在紧致性上表现如何？

主要发现

• 所提出的优良度度量为凸块稀疏算法中恢复误差的块-$\ell_\infty$ 范数提供了可计算的上界。
• 不动点迭代框架可全局收敛至优良度度量的最优值，且每一步均涉及一个半定规划。
• 对于子高斯与各向同性随机感知矩阵，当测量次数相对较多时，优良度度量远离零，确保性能非退化。
• 该框架可高效验证通过块-$\ell_1$ 最小化实现精确块稀疏恢复的充分条件。
• 数值结果表明，所提出的界比基于块受限等距性质推导的界更紧致。
• 证明了不动点迭代具有唯一的正不动点，从而确保无论初始值如何，均收敛至全局最优解。